Politique de relance, qui peut servir pour un oral de bac

Sujet : Dans quelle mesure les suites permettent-elles de montrer l’efficacité des politiques de relance ?

Lorsqu’un État veut relancer l’économie il peut injecter de l’argent dans l’économie sous forme d’investissements publics ou d’aides aux entreprises et aux ménages. Dans cet exercice l’État investit 100 milliards d’euros. On suppose ensuite que les entreprises et consommateurs dépensent 80 % de l’argent reçu ; les 20 % restants sont épargnés ; l’argent dépensé devient à son tour un revenu pour d’autres agents économiques, qui vont eux aussi en redépenser 80 %. Cela crée donc une chaîne de dépenses successives : première vague : 100 milliards ;deuxième vague : 80 milliards ; troisième vague : 64 milliards  etc. Le problème est donc de comprendre : Comment modéliser cette succession de dépenses et calculer le revenu total créé dans l’économie ? Les suites permettent précisément d’étudier ce phénomène.

I. Choix du modèle : utiliser une suite géométrique

Définition de la suite

On note vn le montant dépensé lors de la n-ième vague. On sait que : v(0)= 100 et que chaque vague représente 80 % de la précédente.

Donc : vn+1 = 0,8vn

Nature de la suite

Une suite vérifiant vn+1 = q x vn.

Est une suite géométrique de raison q. On a ici : raison : q = 0,8 premier terme : v0 = 100 Donc (vn) est une suite géométrique.

Expression explicite

Pour une suite géométrique : vn = v0 × q^n    Donc ici : vn = 100 × 0,8^n

Interprétation économique

Cette formule signifie que :chaque nouvelle vague de dépenses est plus petite que la précédente ;l’argent circule progressivement dans l’économie ; l’effet de la relance diminue au fil du temps.

Exemples : v1 = 100 × 0,8 = 80, v2 = 100 × 0,8² = 64, v3 = 51,2

Chaque vague continue malgré tout à créer du revenu supplémentaire.

II. Résolution mathématique : calcul du revenu total généré

Somme des revenus générés

Le revenu total après n vagues est : Sn = v0 + v1 + v2 + ××. + vn-1

Donc : Sn = 100 + 80 + 64 + … C’est une somme de termes d’une suite géométrique.

Formule de somme d’une suite géométrique

On utilise la formule : Sn = [u(0)(1 − q^n)] / (1 − q)

Ici le premier terme 100 et de raison : 0,8

Donc : Sn = [100(1 − 0,8^n)] / (1 − 0,8)

Or on a  1 − 0,8 = 0,2

Ainsi Sn = [100(1 − 0,8^n)] / 0,2

Finalement Sn = 500(1 − 0,8^n)

Vérification avec quelques valeurs

Après 2 vagues : S2 = 100 + 80 = 180

Après 3 vagues : S3 = 100 + 80 + 64 = 244

Après 5 vagues : S5 = 500(1 − 0,8^5)  S5 ≈ 336,16

Donc, au bout de quelques vagues seulement, le revenu créé devient déjà très important

Interprétation économique

L’investissement initial de 100 milliards ne produit pas seulement 100 milliards de revenu. Grâce aux dépenses successives l’argent continue de circuler ; chaque agent économique crée à son tour du revenu ; l’effet global devient beaucoup plus important que la dépense de départ. C’est ce qu’on appelle le multiplicateur keynésien.

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