Les lois de probabilités

Lois de probabilités

Les lois de probabilités

Définir la loi de probabilité d’une expérience aléatoire, c’est déterminer les probabilités p1, p2, … , pn, de chacun de ces évènements : x1, x2, … , xn.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Définir une variable aléatoire X, c’est :

 ∙  Faire une partition de l’univers Ω avec les évènements constitué par les différentes issues possibles de l’expérience,

 ∙ Associer à chaque évènement d’une épreuve un nombre réel xi.

        Exemple :

Une urne contient dix boules indiscernables au toucher, l’une d’entre-elles porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 3 et les autres portent le numéro 1.

L’expérience consiste à extraire au hasard une boule de l’urne et à noter son numéro.

L’univers Ω de cette expérience est formé de l’ensemble des 10 boules. On s’intéresse aux 4 évènements suivants qui forment une partition de Ω :

Variable aléatoire :

A1 : « la boule extraite porte le numéro 10 »;

A2 : « la boule extraite porte le numéro 5 » ;

A3 : « la boule extraite porte le numéro 3 »;

A4 : « la boule extraite porte le numéro 1 ».

On vient d’associer à chaque évènement de la partition un nombre réel xi et donc de définir la variable aléatoire X : «numéro de la boule extraite». On dit que xi =10 est une représentation de la variable aléatoire X

Loi de probabilité :

A1 : « la boule extraite porte le numéro 10 » dont la probabilité est  ;

A2 : « la boule extraite porte le numéro 5 », dont la probabilité est  ;

A3 : « la boule extraite porte le numéro 3 », dont la probabilité est  ;

A4 : « la boule extraite porte le numéro 1 », dont la probabilité est .

On peut  consigner ces résultats dans un tableau tel que celui-ci :

Remarque : on a p1 + p2 + … + pn = 1

Espérance mathématique et variance

Espérance mathématique d’une variable aléatoire :

Quand les évènements d’une partition n’ont pas la même probabilité on ne parle pas de moyenne mais d’espérance mathématique que on note E{X}.

E{X}=[pic 1]

[pic 2]

avec n le nombre d’événements de la partition

Si les  pi sont tous égaux (équiprobabilité avec pi = 1/n) alors E{X} est égale à une simple  moyenne.

Dans notre exemple : E{X}= 10  + 5   + 3  + 1 = 3,3

Variance d’une variable aléatoire:

Si la loi de probabilité est équiprobable, la variance chiffre la dispersion des évènements autour de la valeur moyenne. Si cette dispersion est grande ; la moyenne est peu significative de la  variable aléatoire. La variance chiffre en quelque sorte la qualité de la moyenne. En effet si la moyenne d’une classe et de 12 mais que la dispersion est grande, un élève ne peut pas vraiment être persuadé de sa note. Si maintenant il sait que la dispersion est faible, il peut s’attendre à avoir une note proche de 12.

Lorsque la loi de probabilité n’est pas équiprobable la variance chiffre la dispersion autour de l’espérance mathématique. Elle se note V(X) et :

V(X) = (x1 – E(X))² × p1 + (x2 – E(X))² × p2 + … + (xn – E(X))² × pn. Soit :

[pic 3]

On somme les écarts à l’espérance mathématique au carré afin que les écarts négatifs ne compensent pas les écarts positifs. De la même façon que dans l’espérance mathématique, ces écarts sont pondérés avec les probabilités des évènements.

Afin de s’affranchir de cette somme au carré peu parlante on définit l’écart type de la variable aléatoire et :

L’écart type est la racine carrée de la variance : [pic 4]

La loi de probabilité, l’espérance mathématiques et l’écart type définissent clairement une variable aléatoire.

La loi Binomiale

Epreuve de Bernouilli

Considérons une expérience dont l'univers ne contient que deux événements élémentaires. On appelle succès la réalisation de A et échec la réalisation de son contraire[pic 5].

Posons P(A) = p la probabilité de l’événement A et P([pic 6]) = q la probabilité de l’événement [pic 7]. p et q sont liés par la relation p + q = 1

Exemple : Un joueur lance un dé non pipé et on s’intéresse à l’obtention du six.

Soit A l'événement «on obtient un trois ». Nous avons P(A) = 1/6 et P ([pic 8]) = 5/6.

Lorsqu'on s'intéresse ainsi à un événement A ou à son contraire [pic 9], la réalisation de l'expérience est appelée épreuve de Bernoulli.

Loi Binomiale

Considérons une suite de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On note p la probabilité commune de succès. On dit alors qu’on est dans un schéma de Bernoulli caractérisé par p la probabilité de succès à chaque épreuve et n le nombre d’épreuves.

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