Olympiades 1ère S 2004

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Olympiades 1ère S 2004

Exercice 1 (national)

On définit pour chaque couple de réels (a,b) la fonction f par f(x)=a-√(x+b) où √ désigne la racine carrée.

Deux nombres réels u et v distincts sont dits échangeables s'il existe au moins un couple de réels a et b tels que la fonction f vérifie à la fois f(u)=v et f(v)=u.

1) Montrer que 2 et 3 sont échangeables.

2) Peut-on en dire autant de 4 et 7?

3) A quelle condition deux entiers u et v distincts sont échangeables?

Exercice 2 (national)

Soit ABCD une feuille de papier rectangulaire de largeur AB=4 et de longueur BC=6.

Soit R un point de [AB] (bord inférieur de la feuille) et T un point de [AD] (bord droit de la feuille).

On replie la feuille suivant le segment [RT] et on appelle S la nouvelle position du point A (coin inférieur droit de la feuille).

Voir la figure ci-dessous :

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Dans tout l'exercice, on s'intéresse au cas où S est sur le segment [BC] (bord gauche de la feuille).

On pose AR=x et AT=y.

1) Trouver les valeurs minimale et maximale de x.

2) Trouver une relation entre x et y lorsque S se déplace sur [BC]

3) Trouver la valeur de x pour laquelle l'aire de la partie repliée (triangle SRT) est minimale. Quelle est alors la nature du triangle AST?

Solutions

Solution exercice 1

Analysons le problème de façon générale :

u et v échangeables signifie il existe 2 réels a et b tels que u=a-√(v+b) et v=a-√(u+b) : par différence membre à membre on obtient v-u=√(v+b) -√(u+b), soit (toujours cette quantité conjuguée ) v-u=(v-u)/(√(v+b) +√(u+b)) et comme u-v n'est pas nul on obtient √(v+b) +√(u+b)=1.

Réciproquement si √(v+b) +√(u+b)=1 on aura v-u=(v-u)/(√(v+b) +√(u+b))=√(v+b) -√(u+b) et en prenant a=u+√(v+b) on a évidemment u=a-√(v+b) et aussi v=u+√(v+b) -√(u+b)=a-√(u+b).

Donc u et v sont échangeables si et seulement si, il existe b tel que √(v+b) +√(u+b)=1 (et on prend a=u+√(v+b) ).

Il s'agit donc de résoudre l'équation

(E1) : √(v+b) +√(u+b)=1

On va procéder par des élévations successives au carré, mais il faut être très prudent car il y a équivalence entre a=b et a2=b2 que si a et b sont de même signe ; par exemple l'équation x=√(2x2-1) va donner par élévation au carré x2=1 soit x=1 ou x=-1, cette dernière n'étant pas en fait solution de l'équation initiale!

Par élévation au carré (E1) équivaut à

(E2) : u+v+2b+2√((u+b)(v+b)) =1 et u+b≥0 et v+b≥0 (les 2 membres de l'équation E1 sont bien ≥0... à condition que le 1er membre soit défini!)

soit 2√((u+b)(v+b))=1-u-v-2b et u+b≥0 et v+b≥0

Par élévation au carré (E2) équivaut à

(E3) : 4(u+b)(v+b)=(1-u-v-2b)2 et 1-u-v-2b≥0 et u+b≥0 et v+b≥0

Mais l'équation (E3) impose que (u+b)(v+b) soit positif ou nul , donc que u+b et v+b soient de même signe : ils seront positifs ou nuls si et seulement si par ailleurs leur somme l'est et donc (E3) équivaut à

(E4) 4(u+b)(v+b)=(1-u-v-2b)2 et 1≥u+v+2b≥0, qui est finalement la condition nécessaire et suffisante pour que u et v soient échangeables.

Par simple développement de 4(u+b)(v+b)=(2b+(u+v-1))2 on obtient 4(b2+(u+v)b+uv)=4b2+4b(u+v-1)+(u+v-1)2 et donc on trouve une seule possibilité pour b : b=((u+v-1)2-4uv)/4.

Mais attention cette valeur va conduire à dire u et v échangeables que si on a effectivement 1≥u+v+2b≥0.

Calculons u+v+2b=(2(u+v)+(u+v-1)2-4uv)/2=((u+v)2-4uv+1)/2=((u-v)2+1)/2 : cette quantité est toujours positive et donc u et v seront échangeables si et seulement si elle est inférieure ou égale à 1 soit si et seulement si

(u-v)2≤1⇔ |u-v|≤1⇔-1≤u-v≤1

On peut donc maintenant donner la réponse aux 3 question posées :

1) u=2 et v=3 sont échangeables puisque (2-3)2≤1: b=((2+3-1)2-4×2×3)/4=-2 et a=u+√(v+b)=2+1=3, c'est-à-dire f(x)=3-√(x-2) et on a bien f(2)=3 et f(3)=2.

2) Par contre u=4 et v=7 ne le sont pas puisque on n'a pas (4-7)2≤1 ; d'ailleurs si on n'avait pas fait attention à l'aspect réciproque on aurait dit b=((4+7-1)2-4×4×7)/4=-3 et a=u+√(v+b)=4+2=6, d'où f(x)=6-√(x-3), mais là si f(7)=4 on n'a pas f(4)=7 mais f(4)=5 ; on peut vérifier que dans ce cas 1-u-v-2b n'est pas positif ou nul (il vaut -4).

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