Méthodes quantitatives, mathématiques II

Faculté de Droit de Mohammedia                                                     A.U. 10/11

Filière Économie-Gestion

Module : Méthodes quantitatives (semestre 3)

Matière : Mathématiques II

Travaux Dirigés (Compléments : quelques corrigés)

Partie 1 : Espaces vectoriels, sous espaces vectoriels, Intersection, bases, dimension

Exercice 7 :

• F = [pic 1] (par exemple :[pic 2]).

Un élément [pic 3] peut s’écrire sous la forme [pic 4] ; c'est-à-dire : 

[pic 5]

Ainsi, en posant :[pic 6];[pic 7];[pic 8], tout élément de F peut s’écrire comme combinaison linéaire de [pic 9], [pic 10] et [pic 11][pic 12][pic 13] : F est donc un sous espace vectoriel de [pic 14]. Comme [pic 15]est une famille génératrice de F et [pic 16]est une famille libre ([pic 17], Donc c’est une base de F, en particulier dim F = 3.

• De même G est  un sous espace vectoriel de [pic 18]engendré par (on pose par exemple : x=-2y-3z-

t) les vecteurs :[pic 19],[pic 20]et[pic 21] : [pic 22]. [pic 23] est une famille libre[pic 24] [pic 25].

Donc c’est une base de G, en particulier dim G = 3.

• De même H est  un sous espace vectoriel de [pic 26]de dim 3 dont une base est : [pic 27]

[pic 28] ; [pic 29].

1. L’intersection de deux sous espaces vectoriels est un sous espace vectoriel : [pic 30]est un sous espace vectoriel de [pic 31]. Pour avoir une base de[pic 32], on procède de la manière suivante :

 [pic 33] (équation de F) et [pic 34] (équation de G) c'est-à-dire : [pic 35], et en remplaçant dans la 2ème équation on obtient : [pic 36] et (on remplace dans[pic 37]) : [pic 38].

Ainsi [pic 39]peut s’écrire : [pic 40].

Les vecteurs [pic 41]et [pic 42]forment une base de[pic 43], en particulier dim [pic 44]=2.

Remarque : On peut choisir [pic 45] au lieu de [pic 46] car [pic 47][pic 48]

• De même [pic 49]est un sous espace vectoriel de dim 2 dont une base est : [pic 50] ;

[pic 51].

Partie 2 : Application linéaire, noyau, image, Théorème de la dimension, application linéaire bijective « isomorphisme »réciproque, Matrices

Exercice 3 :  

1. [pic 52]et [pic 53]sont deux vecteurs linéairement indépendants de [pic 54].

Les vecteurs [pic 55] ; [pic 56] et [pic 57]sont des combinaisons linéaires de [pic 58]et [pic 59]donc : [pic 60] ; [pic 61] et [pic 62]. Or la dimension de [pic 63]

est 2 : [pic 64] « [pic 65]et [pic 66]sont linéairement indépendants », donc la famille [pic 67]

est forcément liée.

Rappel : En dimension « n » :

• Une famille libre contient « au plus » n vecteurs
• Une famille génératrice contient « au moins » n vecteurs

1. On pose : [pic 68]et cherchons les 2 inconnus [pic 69]et [pic 70].

[pic 71]

Comme [pic 72]et [pic 73]sont linéairement indépendants, donc

[pic 74][pic 75][pic 76]

Finalement : [pic 77]

1. Si [pic 78]est une application linéaire, nous aurons : [pic 79].

Mais  [pic 80] donc [pic 81]n’est pas une application linéaire.

1. D’après la question précédente : [pic 82]
2. L’application linéaire [pic 83]est définie de  [pic 84] vers [pic 85].

Le Théorème du rang : dim Ker[pic 86]+ dim Im[pic 87]= dim [pic 88] « espace de départ de h » = 4

Si  [pic 89]est injective, nous aurons Ker [pic 90]= [pic 91]} c'est-à-dire dim Ker[pic 92]= 0, auquel cas nous aurons dim Im[pic 93]= 4, ce qui est absurde « puisque Im[pic 94] donc dim Im[pic 95] »

Remarque : Le rang d’une application linéaire est la dimension de son image : rg(h) = dim Im(h)

Exercice 4 :  

1. On calcule le déterminant de la famille  [pic 96]en le développant suivant la 1ère ligne par

exemple :

[pic 97]

Donc la famille [pic 98]est une base de [pic 99] « car dim[pic 100]=3 et [pic 101]contient 3 vecteurs »

...