DM mathématiques sur les Intégrales

                                             DEVOIR                  Durée : 1 heure 

Calculatrice autorisée.

EXERCICE 1 ( 4  points) 

Calculer les intégrales suivantes :

𝐼 [pic 1]𝑑𝑥         𝐽 [pic 2] 𝑑𝑥         𝐾 [pic 3] 𝑑𝑡           

EXERCICE 2 ( 3 points) 

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ  par 𝑓(𝑡) = (2𝑡 + 1)𝑒−𝑡.

1. Vérifier que la fonction 𝐹 définie sur [pic 4] par [pic 5]𝑡 est une primitive de 𝑓 sur ℝ. 
2. Calculer la valeur exacte de l’intégrale 𝐼 [pic 6]. 

EXERCICE 3 ( 4 points ) 

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :

𝑒𝑥𝑑𝑥 [pic 7][pic 8]

𝐼𝑥 𝑑𝑥                   𝐽

EXERCICE 4 ( 2 points ) 

[pic 9]

Soit 𝑓 la fonction définie sur ][pic 10][ par                  𝑓(𝑥) = 𝑥 − 7 + [pic 11] 

𝑥[pic 12]

Calculer la valeur moyenne 𝑉𝑚 de 𝑓 sur l’intervalle [5; 105].

EXERCICE 5( 3 points ) [pic 13]

Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗) d’unité graphique 1 cm. La courbe ci-contre donne l’allure de la représentation graphique de la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0 ; 𝜋] par

𝑓(𝑥) = − [pic 14] cos2𝑥 + cos 𝑥 + [pic 15] 

Les points 𝐸 et 𝐹 ont pour coordonnées 𝐸(0; 2) et 𝐹(𝜋; 0).

On appelle A l’aire du domaine D défini par

D = {𝑀(𝑥; 𝑦)tels que [pic 16] 𝜋  et [pic 17]  

Calculer la valeur exacte de A puis en donner une valeur arrondie au mm².

 [pic 18]

EXERCICE 6 ( 4 points ) 

Soit 𝑓 la fonction définie sur [0; 1] par 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 et 𝑔 la fonction définie sur [0; 1] par 𝑔(𝑥) = 1 . 

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