Dm de maths
TD : Dm de maths. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar premiere cantine • 6 Février 2023 • TD • 746 Mots (3 Pages) • 368 Vues
DM Maths BRUGEAUD Mathis
[pic 1]
Conjecturer la nature de cette transformation.
[pic 2]
Homothétie se caractérise par :
- Un centre
- Un rapport
Retrouver les éléments caractéristiques de cette transformation :
Homothétie de centre O et de rapport k :
= k avec [pic 3][pic 4][pic 5]
avec [pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
=[pic 10][pic 11]
Avec [pic 12]
Avec [pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
=[pic 16][pic 17]
On peut conjecturer que k=[pic 18]
On peut aussi dire que 1+i est l’affixe du vecteur [pic 19]
= k [pic 20][pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
On a aussi [pic 24]
Car [pic 25]
Déterminer l’écriture complexe de cette transformation :
Cette transformation peut se caractériser par une fonction :
F : ℂ⟶ ℂ
z ⟶[pic 26]
Conclure :
Je valide la conjecture de la première question.
Une homothétie de centre est de rapport k est la fonction complexe :[pic 27]
ℂ⟶ ℂ
z ⟶[pic 28]
[pic 29]
[pic 31]1.a) Lorsque nous relions tous les points la forme de la courbe obtenue s’apparente a un spirale dont les points s’écartent de plus en plus[pic 30]
1.b) Nous pouvons également déduire que le terme général de la suite Zn est :
[pic 32]
2.a) Nous pouvons ainsi remarquer que la distance entre les points augmente et les points tourent d’un certain angle entre eux. Nous pouvons conjecturer que la fonction f est la compose d’une homothétie ainsi qu’une rotation de caractéristique
[pic 33]
2.b) [pic 34]
Calculons la forme exponentielle de ce terme
Calculons le module :
[pic 35][pic 37] = [pic 36][pic 38]
Calculons l’argument
[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]
[pic 43]
La forme exponetielle est donc
[pic 44]
Nous avons donc f(Zn) =[pic 45]
Nous avons bien un module diffèrent de 1 correspondant a une homothétie et un argument non nul donc une rotation
2.c) La conjecture est donc valide
...