Paradoxe probabiliste

Les quatre exercices sont indépendants. Aucune justification n’est attendue.

1. Anniversaires

Soit un évènement : « dans un groupe de n individus, il y a deux personnes qui ont leur anniversaire le même jour ». La probabilité associée à cet évènement est notée .[pic 1][pic 2]

A partir de quelle valeur de n la condition  est vérifiée ?[pic 3]

                        [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

1. Portes

Un individu est face à trois portes fermées. Il a la possibilité d’en ouvrir une seule. Derrière l’une des portes se trouve un trésor. L’individu choisit la porte de gauche. La porte centrale est alors ouverte et le trésor ne s’y trouve pas. L’individu a donc le choix entre conserver son choix initial ou changer avec la porte de droite.

Que doit-il faire ?

1. Pièces de monnaie

Raisonnement n°1

Si trois pièces de monnaie sont lancées en l’air, alors il y en a forcément deux qui retomberont sur la même face. La troisième pièce retombera avec une probabilité de 1/2 sur cette même face. La probabilité que les trois pièces retombent sur la même face est donc de 1/2.

Raisonnement n°2

La deuxième pièce retombera sur la même face que la première avec une probabilité de 1/2. C’est également le cas pour la troisième pièce. La probabilité que les trois pièces retombent sur la même face est donc de .[pic 8]

Quel raisonnement est correct ?

1. Candidats

Trois candidats A, B et C attendent le résultat d’une sélection. Un seul candidat sera sélectionné. Le candidat A vient parler à un examinateur qui connait le résultat de l’examen. « Je sais que vous ne pouvez encore rien me dire, mais vous pouvez au moins désigner un de mes deux concurrents qui n’a pas été sélectionné. » L’examinateur se dit que de toutes manières, au moins un des deux autres candidats ne sera pas sélectionné. « Le candidat B n’est pas sélectionné. »

Compléter le tableau ci-dessous.

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