Comment l'hôtel de Hilbert nous permet-il de comprendre la notion d'infini ?

Comment l'hôtel de Hilbert nous permet-il de comprendre la notion d'infini ?

L’infini est une notion qui fascine autant qu’elle déroute. En mathématiques, l’infini ne désigne pas simplement “quelque chose de très grand”, mais un concept rigoureux. Pour nous aider à le comprendre, le mathématicien David Hilbert a imaginé une expérience de pensée : l’hôtel de Hilbert, un hôtel avec une infinité de chambres.

Ce paradoxe permet d’explorer des aspects fondamentaux des mathématiques, notamment en arithmétique et avec les suites, en particulier les suites géométriques. On se demandera alors comment cet hôtel imaginaire permet-il de mieux comprendre la notion d’infini, et comment les outils mathématiques, comme les suites et l’arithmétique, peuvent-ils nous aider à la modéliser ?

I/ L’hôtel de Hilbert : un outil pour comprendre l’infini dénombrable

1. Accueillir toujours plus de clients : l’infini n’est jamais “plein”

On imagine un hôtel avec une infinité de chambres, numérotées 1, 2, 3, 4, etc. Toutes sont occupées. Dans un hôtel classique, on ne pourrait pas accueillir de nouveaux clients. Mais ici, on le peut.

On demande à chaque client de se déplacer d’une chambre vers la droite :

Chambre 1 → 2, 2 → 3, etc.
Cela libère la chambre 1 pour le nouveau client.

Mathématiquement, on applique une fonction arithmétique : f(n) = n + 1.
Même si l’hôtel est plein, on peut encore accueillir quelqu’un, ce qui est un premier paradoxe de l’infini.

Ce paradoxe est possible parce que le nombre de chambres est infini et dénombrable, c’est-à-dire qu’on peut associer un nombre entier à chaque chambre. C’est le même type d’infini que celui des entiers naturels (ℕ).

1. Une infinité de nouveaux clients ? Pas de problème non plus

Supposons maintenant qu’une infinité de nouveaux clients arrive.

On peut faire de la place en envoyant chaque client actuel dans une chambre de numéro pair :

Client 1 → chambre 2,
Client 2 → chambre 4,
Client 3 → chambre 6, etc.

On applique cette fois la fonction f(n) = 2n, qui utilise une multiplication, donc un autre outil d’arithmétique.

Les chambres impaires (1, 3, 5…) deviennent disponibles pour les nouveaux clients.

Cela montre que même en ajoutant une infinité d’éléments à un ensemble infini, on reste dans la même “taille” d’infini. En mathématiques, cela correspond au cardinal ℵ₀ (aleph zéro), utilisé pour désigner l’infini dénombrable.

1. Les suites géométriques pour organiser les déplacements

On peut organiser les déplacements de manière encore plus “spacieuse” grâce aux suites géométriques.

Une suite géométrique est une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre constant, appelé la raison.

Par exemple : 2, 4, 8, 16, 32, ... est une suite géométrique de raison 2.

On pourrait faire :

Client 1 → chambre 2 (2¹)
Client 2 → chambre 4 (2²)
Client 3 → chambre 8 (2³)
Client 4 → chambre 16 (2⁴)

Cela crée un espacement exponentiel entre les clients, ce qui permettrait même d’insérer d’autres groupes de clients entre eux.

Cela montre que les suites, ici géométriques, sont des outils puissants pour modéliser l’organisation d’un ensemble infini.

II/ Les limites de l’hôtel : tous les infinis ne se valent pas

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