Equations cartésiennes de droites et de cercles

Chapitre 10

Equations cartésiennes de droites et de cercles

Dans toute la leçon, on se place dans un repère orthonormé.

1. Droites et vecteurs

Soient A et B deux points du plan.

Définitions :

• On appelle vecteur directeur de tout vecteur colinéaire à  [pic 1][pic 2]
• On appelle vecteur normal à tout vecteur non nul orthogonal à  [pic 3][pic 4]

Conséquences :

•  est vecteur directeur de [pic 5][pic 6]
•  est vecteur n[pic 7][pic 8]

Remarques :

Une droite a une infinité de vecteurs directeurs et de vecteurs normaux.

Application 1 : Trouver des vecteurs directeurs et des vecteurs normaux

A(2 ; 1)  B(-2 ; 5)  C(4 ; -1)  D(1 ; 3)

1. Trouver 3 vecteurs directeurs de (AB) puis 3 vecteurs normaux à (AB)

1. Même question avec la droite (CD)

1. (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

1. (AB) et (CD) sont-elles perpendiculaires ?

1. Equations cartésiennes d’une droite

Propriété/définition 1 : Soit  une droite. Alors, il existe 3 nombres réels a, b et c avec  tels que :[pic 9][pic 10]

[pic 11]

On dit que «   » est une équation cartésienne de [pic 12][pic 13]

De plus,  est un vecteur directeur de   et  est un vecteur normal à [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Démonstration : Soit  une droite. On note  et  2 points de cette droite.  est donc un vecteur directeur de cette droite. On a alors :[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

 [pic 22][pic 23]

                  [pic 24]

                  [pic 25]

[pic 26]

Remarque : Une droite a une infinité d’équations cartésiennes (voir application 2)

Application 2 : Trouver une équation cartésienne d’une droite

On considère les points A(-2 ; 1), B(3 ; -1) et le vecteur [pic 27]

1. Trouver une équation cartésienne de (AB)

1. Trouver une équation cartésienne de la droite d de vecteur normal et passant par A[pic 28]

Propriété 2 (réciproque de la propriété 1) : Soient a, b et c 3 nombres réels tels que [pic 29]

L’ensemble des points est une droite de vecteur directeur  et de vecteur normal [pic 30][pic 31][pic 32]

Application 3 : Trouver un vecteur directeur et un normal à partir d’une équation cartésienne

Soit  la droite d’équation [pic 33][pic 34]

1. Donner 3 vecteurs directeurs de [pic 35]

1. Donner 3 vecteurs normaux à [pic 36]

1. Donner une équation de la droite  parallèle à  passant par A(2 ; 1)[pic 37][pic 38]

1. Donner une équation de la droite  perpendiculaire à  passant par B(-2 ; 1)[pic 39][pic 40]

Application 4 : Trouver le point d’intersection de 2 droites sécantes

Soit  la droite d’équation  et  la droite d’équation [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

1. Prouver que  et  sont sécantes[pic 45][pic 46]

1. Trouver le point d’intersection de ces deux droites

Application 5 : Trouver les coordonnées d’un projeté orthogonal

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