Fonctions du second degré

CHAPITRE 1 : Fonctions du second degré

1 Définition 2

2 Représentation graphique, variation, extremum d’une fonction polynôme du second degré f 2

2.1 Représentation graphique 2

2.2 Variation et extremum 2

2.3 Applications directes 3

2.4 Exercice de recherche 3

3 Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré 3

3.1 Reconnaitre la forme canonique et les autres formes d’un polynôme du second degré 3

3.2 Déterminer la forme canonique en utilisant les identités remarquables 4

3.2.1 Méthode 4

3.2.2 Exemples 4

3.3 Recherche de la forme canonique avec une formule 5

3.3.1 Activité de découverte de la formule 5

3.3.2 Application directe 5

3.3.3 Exercice de recherche 5

3.4 Forme canonique pour étudier les variations d’une fonction du second degré 6

4 Racines, factorisation, résolution d’équation à l’aide de racines évidentes 6

4.1 Résolutions d’équations par facteur commun ou identités remarquables 6

4.2 Racines et forme factorisée de ax² + bx + c 6

4.3 Application 6

4.4 Somme et produit des racines 7

4.5 Forme factorisée à partir d’une ou 2 racines évidentes 8

4.5.1 Deux racines évidentes 8

4.5.2 Une racine évidente 8

4.6 Signe d’un polynôme du second degré factorisé 8

5 Racines, factorisation, équation, inéquation : formules générales 9

5.1 Résoudre une équation du second degré 9

5.2 Applications directes 10

5.3 Exercice de recherche 10

5.4 Signe d’un polynôme du second degré et résolution d’inéquation 10

5.5 Résoudre une inéquation du second degré 11

5.6 Factoriser un polynôme du second degré 12

CHAPITRE 1 : Fonctions polynômes du second degré

1. Définition

Une fonction polynôme du second degré est une fonction f définie sur dont l’expression peut être mise sous la forme développée où les coefficients a, b et c sont des constantes réelles et

* Reconnaitre les fonctions polynômes du second degré : 1 p. 57

2. Représentation graphique, variation, extremum d’une fonction polynôme du second degré f

1. Représentation graphique

Dans un repère du plan, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré f est une parabole de sommet S(α ;β) avec et β = f(α). Elle admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=α.

2. Variation et extremum

Si , la parabole est tournée vers le haut donc f est strictement décroissante sur et strictement croissante sur . f admet un minimum en α égal à β.

Si , la parabole est tournée vers le bas donc f est strictement croissante sur et strictement décroissante sur . f admet un maximum en α égal à β.

Résultat de recherche d'images pour "pdf fiche bilan polynome du second degré première S"

3. Applications directes

* Soit f la fonction définie sur par . Déterminer le tableau de variation de f.

* Soit f la fonction définie sur par Montrer que f admet un maximum et préciser sa valeur.

1. Exercice de recherche

est un tétraèdre tel que , et sont des triangles rectangles isocèles en O et OA = OB = OC = 4.

Un artiste souhaite utiliser ce tétraèdre comme support pour réaliser puis présenter un tableau correspondant au rectangle MNPQ sur le schéma.

M, N, P et Q sont des points des segments [OA], [OB], [CB] et [AC] respectivement. Le tableau sera placé de telle façon que (MN)//(AB), (NP)//(OC), (QP)//(AB) et (MQ)//(OC).

On pose OM = x, avec et on note f(x) l’aire du tableau rectangulaire MNPQ.

L’artiste souhaite réaliser un tableau d’aire maximale. Le but de l’exercice est de déterminer la position de M sur [OA] qui permet de réaliser son souhait.

1. a) Calculer la longueur AB.

2. Dans le triangle OAB, démontrer que MN =.

3. Déterminer, de même, MQ en fonction de x.

1. Montrer que , pour tout x de .

2. a) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur , en justifiant.

2. En déduire où placer M pour que l’aire du tableau rectangulaire MNPQ soit maximale.

3. Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré

1. Reconnaitre la forme canonique et les autres formes d’un polynôme du second degré

a/ On donne trois formes d’expressions pour une même fonction polynôme du second degré f.

* Nommer chacune des formes (la forme

...