Fonctions polynômes du second degré, équations

Chapitre 1

Fonctions polynômes du second degré, équations

Préambule : Ce chapitre traite des différentes formes d’écriture d’une fonction polynôme du second degré (forme développée, forme factorisée quand elle existe et forme canonique) et aborde la résolution des équations du second degré.

Un peu d’histoire : Muhammad Al-Khwarizmi est un mathématicien perse du IXe siècle, originaire de l’actuel Ouzbékistan. Le plus célèbre de ses écrits, Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, que l’on peut traduire par « le livre du rajout et de l’équilibre », fut traduit en latin au XIIe siècle sous le titre Algebra. Il y expose une des méthodes de résolution générales qu’il suffit d’appliquer pas à pas. Il invente ainsi la notion d’algorithme. Une des méthodes, appelée al-jabr, donnera le mot algèbre.

Problématique : La façade du Parthénon s’inscrit dans un rectangle d’or. Un rectangle d’or 𝑅" est tel que, si on lui ôte un carré contenu dans ce rectangle (le carré colorié en bleu), le nouveau rectangle obtenu 𝑅# a des dimensions proportionnelles à celles du rectangle initial.

1 – Forme développée ou réduite, racine d’une fonction polynôme

Exemple : ▪ La fonction 𝑓 définie sur R par 𝑓(𝑥) = −4𝑥# + 5𝑥 − 1 est une fonction polynôme de degré 2. Ses coefficients sont 𝑎 = −4, 𝑏 = 5 et 𝑐 = −1.

▪ La fonction 𝑔 définie sur R par 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) est une fonction polynôme du second degré puisqu’en développant, on obtient, pour tout réel 𝑥 : 𝑔(𝑥) = 2𝑥# − 𝑥 − 1.

Ses coefficients sont 𝑎 = 2, 𝑏 = −1 et 𝑐 = −1.

▪ La fonction carré 𝑥 ↦ 𝑥# est une fonction polynôme du second degré. Ses coefficients sont 𝑎 = 1,

𝑏 = 0 et 𝑐 = 0

Cours

Définition : On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction 𝑓 définie sur R par : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥# + 𝑏𝑥 + 𝑐

où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels avec 𝑎 ≠ 0.

Cette forme est la forme développée de 𝑓, et les réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les coefficients de 𝑓.

Remarque : Par abus de langage, on dit simplement « polynôme 𝑎𝑥# + 𝑏𝑥 + 𝑐 » au lieu de dire « fonction polynôme 𝑥 ↦ 𝑎𝑥# + 𝑏𝑥 + 𝑐 ».

2 – Racine d’une fonction polynôme

Définition : On appelle racine d’une fonction polynôme du second degré 𝑓, tout nombre réel 𝑥" tel que 𝑓(𝑥") = 0.

Autrement dit, une racine de 𝑓 est une solution de l’équation 𝑓(𝑥) = 0

Exemple : Les racines de la fonction 𝑔 définie sur R par 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) sont 1 et −0,5 car : 𝑔(𝑥) = 0 ⇔ (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) = 0

⇔ 𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = − 1 2

3 – Forme factorisée

Exemple : Déterminer un polynôme du second degré connaissant deux racines Soit𝑓lafonctiondéfiniesurRpar𝑓(𝑥)=𝑥# −𝑥−2.

Onremarqueque𝑓(−1)=(−1)# −(−1)−2=0et𝑓(2)=2# −2−2=0.

−1 et 2 sont les racines de la fonction polynôme du second degré 𝑓, et 𝑎 = 1. On en déduit que 𝑓 se factorise sous la forme :

𝑓(𝑥) = 1=𝑥 − (−1)>(𝑥 − 2) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)

Propriété : Soit 𝑓 une fonction polynôme de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥# + 𝑏𝑥 + 𝑐 ayant deux racines distinctes 𝑥" et 𝑥#. Alors, 𝑓 peut s’écrire sous la forme factorisée :

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 −

...