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PRINCIPE DE LA COMMANDE RST

• La structure de commande RST consiste à la mise en place des trois polynômes en z-1, R(z-1), S(z-1) et T(z-1) comme l’indique le schéma bloc ci-dessous.
• Le polynôme S(z-1) doit être un polynôme Monique, c’est-à-dire que son terme constant est égal à 1.
• Le processus à commander est supposé être décrit par les deux polynômes A(z-1) et B(z-1).

[pic 1]

Figure 1 : Forme canonique de la structure de commande RST

La fonction de transfert en boucle fermée est de la forme :

[pic 2]

        avec :        [pic 3]      représente le polynôme caractéristique.

Le choix du polynôme caractéristique P(𝑧−1) permet d’imposer les pôles du système bouclé. Il vient alors de déterminer les polynômes R(𝑧−1) et S(𝑧−1) qui doivent être de degré compatibles avec le degré recherché pour  P(𝑧−1) . Ce problème se ramène à résoudre l’équation :

[pic 4]

• Equation de Bézout ou diophantine
• Variables inconnues S(𝑧−1),R(𝑧−1)
• Variable connues A(𝑧−1),B(𝑧−1)

• L’Objectif de la commande (i.e. le choix des polynômes  R, S, T ) est de  réduire l’effet de la perturbation sur la sortie (au moins au niveau de  certaines zonestemporelles).

Théorème

L’équation de Bézout a une unique solution ssi

[pic 5]

Ou les polynômes S et R sont définis par :

[pic 6]

Méthode de résolution

Afin de résoudre cette équation dont les inconnues sont les coefficients de R et S ,on exprime cette équation sous forme matricielle   M*x=p

Avec : [pic 7]        [pic 8]

Exemple

Soit le systéme définit par

[pic 9]

On veut résoudre l’équation de Bézout avec P(𝑍−1)= 1 − 0,6𝑍−1 − 0,05𝑍−2

solution

• Variables connues :[pic 10]
• calcul des degrés      

• Choix de S(𝑍−1) et R(𝑍−1)

[pic 11]

• Ecriture de l’équation de Bézout :

[pic 12]

• On regroupe degrés par degrés

[pic 13]

• Expression matricielle :

[pic 14]

• Résolution :

[pic 15]

SYNTHESE D’UN PID NUMERIQUE EN UTILISANT LA COMMANDE RST

La démarche à suivre pour faire la synthèse d’un régulateur PID numérique sous forme RST est la suivante :

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