Y a-t-il une connaissance des mathématiques ?

PHILOCOURS.COM

Contact

Accueil

Cours

Corriges

Methode

Dossiers

Liens

Aide Perso

Fiches Bac

Programmes

Bibliographie

Accès Elèves

Accueil > Cours > Logique et Mathématique

page 1 | |

Les mathématiques sont-elles une connaissance ?

le 17/08/2003

Introduction

I- particularité des vérités logiques et mathématiques

A- Les mathématiques ne sont pas une connaissance empirique mais purement formelle, comme la logique

B- Logique et mathématiques ne sont pas des connaissances au sens strict

II- le statut ontologique des mathematiques

A- l’échec des programmes de reduction des mathematiques a la logique appelle à chercher un autre fondement que la logique pour penser les mathématiques

B- contrairement à la logique, les mathematiques semblent avoir un contenu

C- la physique mathématique

D- La réalité ne serait-elle pas de nature mathématique ? (Galilée)

E- Kant et le synthétique a priori

Conclusion

Annexe : faut-il interpréter la thèse de Galilée ontologiquement ?

liens associés

INTRODUCTION

Si cette question se pose, c’est parce que les mathématiques sont considérées comme la connaissance la plus certaine, comme méritant le plus pleinement le titre de " science " et de " vérité ".

Ce qu’on ne met nullement en question, c’est que les mathématiques soient une connaissance.

Or, qu’est-ce qu’est-ce qui caractérise une connaissance? Une connaissance se caractérise surtout par le fait d’avoir un objet, et elle doit nous apporter des informations sur cet objet (ses propriétés, etc.).

Les sciences naturelles (science physique, biologie, chimie, histoire, etc.) sont bien des connaissances (à tel point que, d’un point de vue général, science et connaissance sont des termes synonymes) : d’une façon générale, ce qui caractérise les sciences est qu’elles ont un objet, même si, en grande partie, ces objets sont constitués par des théories (par exemple, en physique, les atomes, électrons, champs de gravitation, en biologie, les cellules, les molécules, etc.). Elles nous parlent de quelque chose, et nous font connaître les caractéristiques de ces objets.

Nous estimons communément que les mathématiques sont une connaissance, et une science. Quels sont alors les objets des mathématiques ?

On pourrait répondre : des fonctions, des isomorphismes, des polynômes, des nombres complexes, etc.

Il semble toutefois que ces " objets " ne soient pas des objets au même sens que ceux des sciences, i.e., qu’ils ne rendent possible aucune expérience et ne peuvent faire l’objet d’aucune expérience. Ainsi, on ne fait pas l’expérience d’un nombre mais d’un nombre donné de pommes, par exemple. Les mathématiques n’auraient donc pas d’objets réels. Ne faut-il pas dire alors que le savoir le plus respecté, paradoxalement, ne porte sur rien ?

Mais peut-être peut-on dire, pour sauver les mathématiques, que ce qui fait qu’elles sont des vérités sûres et certaines, c’est justement qu’elles n’ont pas d’objet ? Et qu’elles sont, dès lors, des vérités d’un type particulier?

Mais seront-elles encore des connaissances à part entière? Pourront-elles encore nous permettre de connaître quoi que ce soit? Ne seront-elles pas stériles, envisagées du point de vue de la connaissance ? Ne serviront-elles pas à tout autre chose qu’à connaître quoi que ce soit ?

Pour répondre à notre question, nous devrons donc aussi répondre à la question de savoir si les mathématiques ont un objet ; nous devrons donc discuter des deux grandes positions sur ce point, qui sont les suivantes :

1)celle selon laquelle les math ont bien des objets (mais on ne voit pas de quelle nature ils peuvent être)

2)celle selon laquelle les math n’ont pas d’objet (mais on ne voit pas bien ce qu’elles nous permettent de connaître et surtout pourquoi elles sont considérées comme le domaine privilégié de la vérité)

Commençons par ce premier argument, puisque c’est de là que nous sommes partis.

I- PARTICULARITÉ DES VÉRITÉS LOGIQUES ET MATHÉMATIQUES

A- Les mathématiques ne sont pas une connaissance empirique mais purement formelle, comme la logique

1) Hume : les vérités analytiques et synthétiques

Hume, Enquête sur l’entendement humain, IV, 1, § § 1 et 2

Tous les objets de la raison humaine ou de nos recherches peuvent naturellement se diviser en deux genres, à savoir les relations d’idées et les faits. Du premier genre sont les sciences de la géométrie, de l’algèbre et de l’arithmétique et, en bref, toute affirmation qui est intuitivement ou démonstrativement certaine. Le carré de l’hypothénuse

...