Les intérêts composés

CHAPITRE II : Les intérêts composés

I – Notion

Lorsqu’on a un capital à placer dans une institution financière deux possibilités peuvent s’offrir :

Soit le capital est retiré augmenté des intérêts calculés une seule fois à la fin de la dernière période (intérêts simples) ;

Soit le capital est retiré augmenté des intérêts calculés de façon successive à la fin de chaque période.

Les intérêts calculés à la fin de chaque période dans ce 2eme cas sont incorporés au capital de début de période pour être replacé pour le compte de la période suivante. Ainsi les valeurs acquises obtenues à la fin de chaque période sont aussitôt replacé pour générer des intérêts pour le compte de la période suivante. Les intérêts contenus dans ces valeurs acquises génèrent à leur tour d’autres intérêts : on parle de Capitalisation des Intérêts.

II – Généralisation de la notion : formule fondamentale

Soit un capital C placé au taux i (taux pour un franc : i = t /100) pendant une période on a :

Période

Capital Début Période

Intérêts

Capital Fin Période

1

2

3

k

n

C

C (1+i)

C (1+i) 2

C (1+i) k-1

C (1+i)n-1

Ci

C (1+i) i

C (1+i) 2 i

C (1+i) k-1 i

C (1+i)n-1 i

C+Ci = C (1+i)

C (1+i) + C (1+i) i = C(1+i) 2

C (1+i) 2 + C (1+i) 2 i = C(1+i) 3

C (1+i) k-1 + C (1+i) k-1 i = C (1+i) k

C (1+i)n-1 + C (1+i)n-1 I = C (1+i)n

La formule fondamentale en intérêt composé de la valeur acquise est : Cn =C (1+i)n

Remarque : Cn est la valeur acquise par le capital C placé au taux i pendant n périodes.

L’expression (1+i) n se lit dans la table financière n°1

Contrairement aux intérêts simples la formule fondamentale en intérêt composé débouche sur la valeur acquise. Pour trouver donc l’intérêt il faut faire la différence entre la valeur acquise et le capital placé. Soit I l’intérêt

I = Cn – C soit I = C (1+i) n – C Donc on a I = C [ (1+i) – 1 ]

L’intérêt au cour d’une période p quelconque est Ip = C (1+i) p-1 i

Les valeurs acquises obtenues à la fin de caque période de même que les intérêts contenus dans ces valeurs acquises sont en progression géométrique de raison 1+i

Exercices corrigés

Remarque: Le capital de 500 000 obtenu dans le deuxième exercice n’est rien d’autre que la valeur actuelle de 796 924. Pour obtenir la valeur actuelle il suffit d’actualiser la valeur acquise. Cette consiste à repousser la valeur acquise à l’origine. Ceci nous pousse à déduire la valeur actuelle d’un capital placé à un taux i qui nommé C0 = C (1+i)-n. Cette formule représente la formule générale de la valeur actuelle en intérêt composé. L’expression (1+i) –n se lit dans la table financière N°2

Exercice corrigé sur la valeur actuelle et calcul d’intérêt

III – Formule de la valeur acquise à intérêts composé quand le temps de placement est un nombre non entier de périodes

Il existe trois méthodes de résolution pour le calcul de la valeur acquise.

A. Méthode logique ou rationnel

C k+p/q = Ck + Ck i p/q soit C k+p/q = Ck (1+ i p/q) soit C k+p/q = C(1+i)k(1+ i p/q)

K est la partie entière du temps de placement. P est la partie non entière et Q = 12. Ck représente la valeur acquise de la partie entière.

B. Méthode commerciale ou pratique

C k+p/q = C(1+i)k+p/q

C. Méthode par interpolation

C k+p/q = C (1+i) k + p/q (Ck+1 - Ck)

Application

IV – Taux proportionnel - Taux équivalent

Taux proportionnel : Deux taux correspondants à des périodes de capitalisations différentes sont proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport de leur période capitalisation respective. Si ia est un taux annuel, is est un taux semestriel proportionnel au taux annuel, it est un taux trimestriel proportionnel au taux annuel, im est un taux mensuel proportionnel au taux annuel, iba est un taux bisannuel proportionnel au taux annuel alors on a : is = ia / 2 it = ia / 4 im

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