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Equations et inéquations du second degré

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Par   •  1 Juin 2023  •  Cours  •  544 Mots (3 Pages)  •  115 Vues

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Chapitre 3. Equations et inéquations du second degré

Contenus

Capacités attendues

- Discriminant. Factorisation éventuelle. Résolution d’une équation du second degré. Signe.

- Racines, signe, expression de la somme et du produit des racines.

- Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts.

- Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies : racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales.

- Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations).

Démonstrations

Résolution de l’équation du second degré.

  1. Equations du second degré et factorisation d’un trinôme

Propriété et définition. Résoudre une équation du second degré, c’est trouver tous les réels  qui vérifient une égalité pouvant s’écrire sous la forme : [pic 1]

 avec .[pic 2][pic 3]

Les solutions de l’équation  sont les racines du polynôme  et les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.[pic 4][pic 5]

Pour résoudre une équation du second degré, on applique le schéma suivant :

[pic 6]

Propriété. Somme et produit des racines

Dans le cas où ,  et  sont les deux racines de l’équation .[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

  • La somme des racines est égale à ;[pic 11]
  • Le produit des racines est égal à .[pic 12]

Remarque : On obtient ainsi : .[pic 13]

Exemple : L’équation  a deux solutions distinctes car .[pic 14][pic 15]

Sans calculer ces solutions, on sait que leur somme est  et que le produit est .[pic 16][pic 17]

[pic 18]

  1. Signe du trinôme

  1. Signe d’une expression[pic 19]

Définition. Etudier le signe d’une expression  revient à déterminer la position de la courbe d’équation  par rapport à l’axe des abscisses :[pic 20][pic 21]

  • Si la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses,  est positive, non nulle ;[pic 22]
  • Si la courbe est en dessous de l’axe des abscisses,  est négative, non nulle.[pic 23]

Lorsque , la courbe coupe ou touche l’axe des abscisses.[pic 24]

  1. Signe du trinôme [pic 25]

Il dépend du signe du coefficient  pour l’allure de la parabole et du signe du discriminant  pour l’existence de points d’intersection avec l’axe des abscisses.[pic 26][pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

La parabole est tournée vers le haut.

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

La parabole est tournée vers le bas.

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Tableau de signe.

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

...

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