Loi de Benford

Loi De Benford

I. Introduction

La loi de Benford est une loi mathématique surprenante qui concerne la fréquence des chiffres significatifs dans les données réelles. Contrairement à ce qu’on pourrait croire, tous les chiffres ne sont pas également susceptibles d’apparaître en première position dans un nombre. Cette loi est observée dans de nombreux domaines : finance, statistiques démographiques, mesures physiques, etc.

II. Enoncé de la loi

La loi de Benford affirme que les petits chiffres apparaissent plus fréquemment que les grands comme premier chiffre significatif dans une liste de nombres. Plus précisément, la probabilité que le chiffre ddd (de 1 à 9) soit le premier chiffre est donnée par la formule suivante :

P(d)=log10​(1+1/d)

Par exemple :

• Le chiffre 1 a environ 30% de chances d’être le premier chiffre.
• Le chiffre 9 n’a que 4,6% de chances.

Cette répartition n’est donc pas uniforme.

III. Origine et explication de la loi

La loi de Benford s’explique par la structure logarithmique des nombres. Beaucoup de phénomènes naturels ou humains suivent une croissance multiplicative (exponentielle ou géométrique). Si on observe ces phénomènes en échelle logarithmique, on voit que les nombres se répartissent uniformément en log, pas en linéaire.

Comme le logarithme transforme les multiplications en additions, cela permet de comprendre pourquoi la distribution des premiers chiffres suit une certaine régularité.

IV. Lien entre log et ln

Dans la formule de la loi de Benford, on utilise le logarithme décimal (log10). Mais on peut aussi utiliser le logarithme népérien (ln⁡) grâce à la relation :

log10 (x) = ln(x) / ln(10)

Ainsi, la formule devient aussi :

P(d) = ln(1+1/d) / ln(10)

Ce lien est important car il montre que la loi repose avant tout sur les propriétés fondamentales des logarithmes, peu importe leur base.

VI. Conclusion

La loi de Benford révèle une règle cachée dans les données du monde réel. Elle montre que même les chiffres suivent des lois mathématiques subtiles, souvent liées à la nature logarithmique de leur croissance. C’est une belle illustration de la façon dont les mathématiques permettent de mieux comprendre les structures invisibles derrière des données apparemment aléatoires.

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