Mathématiques financières

Les Mathématiques Financières

1. Les intérêts simples

En intérêt simple, les intérêts ne sont pas capitalisés dans le temps. Les formules d’intérêts simples s’appliquent à des opérations financières à moins d’un an (ou jusqu’à un an).

Quelques exemples :

L’escompte commercial = mettre à disposition sur le compte le montant ou une partie de la traite. Un moyen de financement.  

Traite = un effet de commerce [pic 1][pic 2][pic 3]

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Formule du calcul des intérêts simples :

I = C x i x n (I = Intérêts, C = Capital, i = Taux d’intérêt, n = Durée)

I = 10 000 x 5 (0,05) x 1 / 100 (nb d’année) = 500

I = 10 000 x 5 x 3 / 1200 (nb de mois) = 125

I = 10 000 x 5 x 90 / 36 000 (nb de jours)  = 125

C = 36 000 x I / i x n (i = t)

i = 36 000 x I / C x n

n = 36 000 x I / C x i

 Les intérêts simples constituent la rémunération à court terme d’un capital, ils ne sont donc pas capitalisables. Par convention, une année commerciale financière est égale à 360 jours, c’est-à-dire 12 mois 30 jours.

ATTENTION !!! Si la durée du placement est exprimée de date à date il faut compter le nombre exact de jours de chaque mois civil, la date initiale exclue et la date finale incluse. (Autrement dit si je fais un placement aujourd’hui la date initiale sera demain.)

Formule de la valeur acquise en intérêts simples : (Capital + intérêts)

Somme du capital et des intérêts.

Cn = C0 + C0 x i x n → Cn = C0 (1+i x n)

Cn = Valeur acquise // C0 = Valeur actuelle

Valeur actuelle en intérêts simples :

C0 = Cn / (1+i x n)

Formule du Taux effectif lors d’une opération de précompte des intérêts :

Un intérêt est dit « précompté » lorsqu’il est prélevé le jour de l’octroi du prêt. Par convention effective i = t.

t = i / (1 – i x n)

Le Taux équivalent en intérêts simples :

En intérêts simples, deux taux équivalents sont proportionnels aux durées des périodes auxquels ils correspondent. Pour une même durée de placement, ils conduisent un Capital (C0) à une même valeur acquise (Cn).

Exemple :

Un taux mensuel de 1% est équivalent à un taux annuel de 12% en intérêts simples.  

1. Les intérêts composés

Les intérêts sont dits « composés » lorsqu’ils sont capitalisés périodiquement. A la fin de chaque période de placement (emprunt) les intérêts s’ajoutent au Capital et produisent à leur tour des intérêts. Les intérêts composés s’appliquent aux opérations d’investissement et de financement supérieur à 1 an.

Leur utilisation permet la détermination de la rentabilité et du choix d’un projet.  

Le principe des intérêts composés est simple. Tout Capital placé à un taux d’intérêt quelconque génère des intérêts au bout d’une période de placement. Ces intérêts génèreront eux-mêmes parallèlement/simultanément des intérêts lors de la période suivante et ainsi de suite (sans fin).

REMARQUE : Lorsqu’il est fait référence aux intérêts composés, on parle de valeur acquise (Capitalisation) et de valeur actuelle (Actualisation).

1. CAPITALISATION

C’est l’opération qui permet de déterminer la valeur future d’un Capital placé aujourd’hui.

Un Capital C0 placé à une période à un taux d’intérêt (i).

C1 = C0 + (C0 x i) → C0 (1+i)

Cette valeur acquise placée au taux (i) pour une nouvelle période sera égale à C2 = C0 (1+i)(1+i) → C0 (1+i)^2

Valeur future = C0 (1+i)(1+i)(1+i)… = C0 (1+i)^n

Formule :

Cn = CO (1+i)^n

Exemple :

Capital 1000€, Taux de 5%, Durée : 1an, 3ans & 5ans.

Cn = 1000 (1,05)^1 =1050

Cn = 1000 (1,05)^3 = 1157,63

Cn = 1000 (1,05)^5 = 1276,28

Valeur acquise par plusieurs capitaux placés à intérêts composés :

Plusieurs capitaux peuvent être classés à un même taux à intervalle régulier. Dans une telle situation, il est intéressant de connaître la valeur acquise par tous ces placements au bout de n période.

Exemple :

Un Capital de 1000€ placé tous les ans pendant 5 ans au taux de 5% :

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On peut observer dans ce schéma que la valeur acquise par ces capitaux est égale à la somme de 5 termes en progression géométrique de raison 1,05.

Il est possible de calculer directement sa valeur acquise à partir de la formule suivante :

Cn = a (1+i) x (1+i) ^n / i = 5801,91 = 1000 (1,05) x (1,05)^5 / 0,05

1. ACTUALISATION

C’est l’opération qui consiste à déterminer la valeur présente d’un Capital disponible ultérieurement.

Formule :

C0 = Cn (1 + i)^- n

Exemple : Si je veux 2000€ dans 1 an, 2ans, 5 ans au taux de 6% : 

2000 (1,06)^ - 1 = 1886,79

2000 (1,06) ^ - 2 = 1779,99

2000 (1,06) ^- 5 = 1494,52

Valeur actuelle de capitaux placés à intérêts composés :

Connaissant la capacité annuelle de remboursement, le taux d’intérêt d’emprunt et le nombre de période souhaité pour le remboursement, il est tout à fait possible de déterminer la somme à emprunter.

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