Cours n°1 matrice L1 bio
Cours : Cours n°1 matrice L1 bio. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar aizdbib • 10 Mars 2018 • Cours • 2 660 Mots (11 Pages) • 970 Vues
UE-Mathématiques
Chapitre 1: Matrices
Definition :Une matrice est un tableau de nombres.
Exemple : M=(2 5 4)
1 0 -9
Vocabulaire : Les nombres du tableau s’appellent les coefficients de la matrice.
On dit qu'une matrice est de taille m fois n lorsqu'elle a m lignes et n colonnes.
-Pour désigner facilement les coefficients,on utilise les doubles indices, par exemple :
A=(a11 a12 a13)
a21 a22 a23
Le premier indice indique le numéro de ligne, le deuxième indice indique le nombres de colonne.
Exercices :
-soit A=(1 2 -5)
3 7 8
Quelle est la taille de A ?
Sa taille est de 2 fois 3 puisqu'elle a deux lignes et trois colonnes.
Donner les valeurs des coefficients a23, a12 et a22.
a23=8;a12=2;a22=7
-Ecrire la matrice 3*2 qui a tous ses coefficients égaux à 1.
Il s'agit de A=(1 1)
1 1
1 1
Voc :
Une matrice n*n est appelé matrice carrée, par exemple :
A=(1 2 3
4 5 6
7 8 9 est de taille 3, carrée.
Une matrice qui n'a qu'une colonne est appelé matrice colonne, par exemple,
C=(1
-1
2
Une matrice qui n'a qu 'une ligne est appelé matrice ligne, par exemple,
L=(1 2 0 -1)
Une matrice carrée qui a tous ses coefficient nuls, sauf evantuellement sur la diagonale, est appelée matrice diagonale, par exemple :
D=(-1 0 0 N=(-12 0
0 0 0 0 7
0 0 3
La matrice diagonale de taille n dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 s'apelle la matrice identit, on la note In :
I3=(1 0 0 voir diapo 9
0 0
Definition :
La transposée d'une matrice M est la marice notée tM définie par : « les lignes de tMsont les colonnes de M »
Ex : M=(1 2 3
4 5 6
Que vaut tM ? TM=(1 4
2 5
3 6
OPERATIONS SUR LES MATRICES
1)L'addition des matrices se fait à terme pour des matrices de meme taille.
Exemple :
2)La multiplication des matrices par un réel se fait en multipliant chaque coefficient.
Exemple:
- Multiplier deux matrices entre elles
On ne peut pas toujours multiplier deux matrices entre eles, cela dépend de leur taille. La multiplication n'est pas définie terme à terme.
Exemple de produit fondamental : le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne qui a le meme nombre de coefficients.
Exemple 1 : L=(2 1 5), C=(0
-1
1
La matrice ligne a 3 coefficient, tout comme la matrice colonne, onva pouvoir faire le produit LC. Le résultat de ce produit de matrices est simplement un nombre : LC= : 2*0+ 1*(-1) + 5*1 = 4
Exemple 2 : L=(3 2), C=(4
5
On a de meme : LC= 3*4+2*5=22
Cas général :
- On multiplie deux matrices entre elles que si le nombre de colonnes de la matrices de gauche est égal au nombre de lignes de la matrice de droite.
- Le coefficient de la matrice produit situé à la ligne i et la colonne j est « le produit de la ligne i de la matrice de gauche par la colonne j de la matrice de droite ».
- Si A est une matrice n*p et B une matrice p*s, la matrice produit AB sera de taille n*s.
Exemple 1 : A=(2 5 4 B=(-2 0 0)
1 0 -9 0 1 -1
5 0 4
- Le nombre de colonne de A, à savoir 3, est égal au nombre de lignes de B, donc le produit AB existe.
(C1 C2 C3)
(L1) (L1C1 L1C2 L1C3)
(L2) (L2C1 L2C2 L2C3)
(-2 0 0)
0 1 -1
5 0 4
(2 5 4) (16 5 11)
1 0 -9 -47 0 -36
- Le nombre de colonne de B, à savoir 3, est différent du nombre de lignes de A, à savoir 2. Donc le produit BA n'est pas faisable.
Exemple 2 :
A=(1 2) B=(1 2)
3 4 4 5
Justifier l'existence de AB et BA et calculer ces deux produits.
-Le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B, donc le produit AB est défini
-De meme, le nombre de colonnes de B est égal au nombre de lignes de A, donc le produit BA est défini.
...