Probabilité Cours

Probabilités

Une probabilté, on peut dire que c'est "la chance" que l'on a d'obtenir un événement.

Par exemple, si on appelle A l'événement "obtenir pile", p(A) = ½ car on a une chance sur 2 d'avoir pile (si la pièce n'est pas truquée bien sûr ).

Pour une pièce c'est facile, mais parfois c'est beaucoup plus compliqué. Alors comment faire pour calculer une probabilté ?

Tout dépend du contexte, parfois on est dans des cas particuliers comme une loi binômiale (que l'on verra plus tard), mais on a aussi des situations simples :

si on prend un dé, tous les événements (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6) ont la même probabilité d'être tirés. On a alors une formule très sympathique dans ce cas là :

pour un événement A :

Ce qui signifie :

Si par exemple A = "avoir un nombre supérieur ou égal à 3", on a alors A = {3 ; 4 ; 5 ; 6}, donc card(A) = 4.

De plus, Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, donc card(Ω) = 6. Donc :

Il y a évidemment d'autres cas dont nous parlerons plus loin, mais la propriété ci-dessus est très souvent utilisée

Une chose très importante à retenir : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 !!

Si P(A) = 0, A est un événement IMPOSSIBLE, comme le fait d'obtenir 7 en lançant un dé.

Si P(A) = 1, Aest un événement CERTAIN, c'est-à-dire qu'il est obligé d'arriver, comme le fait d'obtenir un nombre positif en lançant un dé par exemple.

Du coup, si un jour tu calcules une probabilité et que tu trouves un nombre plus grand que 1, comme 5 ou 12 par exemple,C'EST FORCEMENT FAUX !! Il faut alors revoir le raisonnement pour trouver la faute^^

Variables aléatoires et lois de probabilités

Une variable aléatoire est une application, qui à une éventualité fait correspondre un nombre généralement, mais tu comprendras mieux au fur et à mesure avec des exemples.

Prenons un exemple justement. Supposons que l'on a un dé.

On définit la variable aléatoire X ainsi :

si l'on obtient 1 ou 2, on gagne 2 euros, donc X vaut +2

si l'on obtient 3 ou 4, on ne gagne rien, donc X vaut 0

si l'on obtient 5 ou 6, on perd 3 euros, donc X vaut -3

X correspond ici au gain algébrique. "Algébrique" signfie que le gain est négatif quand on perd, et positif quand on gagne.

On peut résumer la situation par un tableau :

valeur du dé 1 ; 2 3 ; 4 5 ; 6

X +2 0 -3

On définit alors une LOI DE PROBABILTE, qui correspond à la probabilité d'obtenir chacune des valeurs de X, donc +2, 0 et -3.

Quand on te demande de déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X il faut donc :

1) déterminer toutes les valeurs que peut prendre X, que l'on note x1, x2, x3...

2) Pour chaque valeur, déterminer la probabilité : P(x1), P(x2)...que l'on note aussi P(X=x1), P(X=x2)...

Ici on est dans le cas ci-dessus où tous les événements (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6) ont la même probabilité d'être tirés. On a donc :

De même :

On peut donc compléter notre tableau :

valeur du dé { 1 ; 2 } { 3 ; 4 } { 5 ; 6 }

X = xi +2 0 -3

p( X = xi) ⅓ ⅓ ⅓

Et voilà, on a déterminé notre loi de probabilité ! C'est tout simplement la dernière ligne, où on a toutes les probabilités pour chaque valeur de X. Ici c'est un cas partiulier, ce sont toutes les mêmes probabilités : ⅓.

Une petite remarque au passage : pour dire toutes les possibilités de X, on le note comme pour un ensemble, avec des accolades, mais on note X(Ω)

Ici, X(Ω) = {-3 ; 0 ; +2}.

Si possible, remets les valeurs dans l'ordre croissant comme ici, c'est toujours mieux d'écrire {-3 ; 0 ; 2} que {2 ; -3 ; 0}

Ce qui est important c'est que tu retiennes la méthode pour déterminer une loi de probabilité : déterminer toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable aléatoire, puis la probabilité de chacune de ces valeurs.

Une propriété très importante : la somme des probabilités pour une variable aléatoire vaut 1 !!!!

dans notre exemple c'est bien le cas, puisque ⅓ + ⅓ + ⅓ = 1.

Cette propriété a deux utilités : tout d'abord pour vérifier si ce que l'on a trouvé est juste. On additionne toutes les probabilités et on voit si ça vaut 1.

Attention cependant, ce n'est pas parce que ça vaut 1 que c'est juste, mais si ça ne vaut pas 1, c'est FORCEMENT FAUX !!

A ce moment-là il faut chercher où tu as fait une erreur.

Deuxième utilisation : calculer une probabilité !

Imaginons que X puisse valoir 5, 6 ou 7, et que l'on sait que P(X=5) = ½ et P(X=7) = ⅓, et que l'on cherche P(X = 6).

On dit tout simplement :

P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 1

Donc P(X=6) = 1 - P(X=5)

...