DM de physique-chimie

Classe : Première S        Devoir n°3        À rendre le lundi 18 avril

Exercice n°1

f est la fonction définie sur ℝ par . On note  sa courbe représentative.[pic 1][pic 2]

A est le point de coordonnées  et K est le point de  d'abscisse 0,5.[pic 3][pic 4]

1. Montrer que la tangente à la courbe  au point K, passe par A.[pic 5]

[pic 6]

 donc [pic 7][pic 8]

Une équation de la tangente à  au point K est [pic 9][pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

 donc la tangente à la courbe  au point K, passe par A.[pic 14][pic 15]

1. M un point de  d'abscisse  .[pic 16][pic 17]

1. Montrer qu'une équation de la tangente en M à  est : .[pic 18][pic 19]

[pic 20]

 donc [pic 21][pic 22]

Une équation de la tangente à  au point M est [pic 23][pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

1. De quelle équation le nombre  doit-il être solution pour que la tangente en M passe par le point A ?[pic 28]

La tangente en M passe par le point A si et seulement si [pic 29]

[pic 30]

Pour que la  tangente en M passe par le point A,  doit être solution de l'équation .[pic 31][pic 32]

1. Montrer que pour tout nombre , .[pic 33][pic 34]

[pic 35]

1. Résoudre dans ℝ l'équation .[pic 36]

L'équation  est équivalente à [pic 37][pic 38]

 ou [pic 39][pic 40]

 ou [pic 41][pic 42]

Le discriminant de  est [pic 43][pic 44]

Donc l'équation  a deux solutions qui sont  et .[pic 45][pic 46][pic 47]

L'équation  a trois solutions : 0,5,  et .[pic 51][pic 48][pic 49][pic 50]

1. En quels points, la tangente à  passe-t-elle par A ?[pic 52]

Les tangentes à  aux points d'abscisse 0,5,  et  sont les trois tangentes à  qui passent par A.[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]

1. Construire la courbe de f et ses tangentes passant par A.

Voir ci-dessus.

Exercice n°2

Il s'agit ici de résoudre de manière approchée une équation d'inconnue x qui peut se ramener à .[pic 57]

Dans un repère du plan, on cherche donc l'abscisse d'un point d'intersection de la courbe représentative  de la fonction f avec l'axe des abscisses. Une des méthodes, appelée « méthode de Newton », est la suivante :[pic 58]

•  est un point de la courbe  ; la tangente à  en  coupe l'axe des abscisses en un point .[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]
•  est le point de la courbe ayant la même abscisse que  ; la tangente à  en  coupe l'axe des abscisses en un point .[pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]
• On réitère cette construction plusieurs fois en admettant qu'à chaque étape, il n'y a pas de tangente horizontale. On constate que les points  se rapprochent du point d'intersection de  avec l'axe des abscisses.[pic 70][pic 71]

1. À partir de l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point  d'abscisse , exprimer l'abscisse  du point  en fonction de ,  et .[pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78]

Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point  d'abscisse  est .[pic 79][pic 80][pic 81]

L'abscisse  du point  vérifie donc l'équation .[pic 82][pic 83][pic 84]

Celle-ci est équivalente à [pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

L'abscisse du point  est .[pic 88][pic 89]

1. Exprimer de même l'abscisse  du point  en fonction de ,  et .[pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94]

 est le point de la courbe ayant d'abscisse .[pic 95][pic 96][pic 97]

Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point  est .[pic 98][pic 99]

L'abscisse  du point  vérifie donc l'équation .[pic 100][pic 101][pic 102]

D'où .[pic 103]

1. f est la fonction définie sur ℝ par .[pic 104]

1. Démontrer que l'équation  a une seule solution.[pic 105]

• [pic 106]

• La fonction f est donc strictement croissante sur les intervalles  et , et f est strictement décroissante sur l'intervalle .[pic 121][pic 122][pic 123]
• [pic 124]

[pic 125]

[pic 126]

...