Vecteur

Sommaire

Vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Nom d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Propriété vectorielle d’un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Origine et extrémité d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Somme de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Somme de plusieurs vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Vecteur opposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Vecteur nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Multiplier un vecteur par un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Vecteurs colinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Alignement de trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Vecteurs unitaires d’un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Coordonnées d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Coordonnées d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Calcul des coordonnées d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Rapporter une figure à un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires par le calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Vecteur directeur d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Droites parallèles et sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Intersection de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1

Un vecteur représente un déplacement. Il est représenté par une flèche et est défini par :

• une direction (l’inclinaison de la flèche) ;

• un sens (le l’origine vers l’extrémité) ;

• une norme (la longueur de la flèche).

Définition

Vecteur

Un vecteur peut être nommée par :

• une lettre minuscule surmontée d’une flèche horizontale allant de la gauche vers la

droite : #»u,

#»a , etc.

• deux lettres majuscules surmontée d’une flèche horizontale allant de la gauche vers la

droite : # » AB désignera le vecteur représentant le déplacement de A vers B.

Notations Nom d’un vecteur

Un vecteur peut être mis n’importe où.

Remarque

#»u #»v

A

# » AB B

Exemples

Si ABCD est un parallélogramme, alors # » AB =

# » DC.

Propriété

Propriété vectorielle d’un parallélogramme

A

B

C

D

# » AB

# » DC

Ici, on voit que les vecteurs # » AB et

# » DC ont :

• la même direction (les droites (AB) et

(CD) sont parallèles) ;

• le même sens (pour aller de A vers B, on

va de gauche à droite, comme pour aller

de D à C) ;

• la même norme (dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même

longueur).

Exemple

2

On voit intuitivement que deux vecteurs sont égaux s’ils représentent le même déplacement.

Remarque

L’origine d’un vecteur est le point à partir duquel la flèche part.

L’extrémité d’un vecteur est le point où la flèche arrive.

Définitions Origine et extrémité d’un vecteur

#»u

origine de #»u

extrémité de #»u

Exemple

Dans le cas d’un vecteur # » AB, « A » (la première lettre) représente toujours l’origine et « B »

(la seconde lettre) désigne toujours l’extrémité.

Remarque

Soient #»u et #»v deux vecteurs.

On définit le vecteur #»w =

#»u +

#»v de la façon suivante :

#»u

#»v

#»w =

...