Probabilités conditionnelles
Cours : Probabilités conditionnelles. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar fefdsfe • 17 Février 2022 • Cours • 504 Mots (3 Pages) • 323 Vues
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Histoire des Maths : livre page 261
Probabilités conditionnelles
Activité 1 page 261
Définition - Propriété
Définition 1.[pic 5]
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Remarque 1.
Si P (A) /= 0 , on peut définir PB(A) = . . .
Exemple 1.
Un sac contient 4 boules noires numérotées 1; 2; 3; 4 et 6 boules blanches numérotées 1; 2; 3; 4; 5; 6 .On choisit au hasard une boule.[pic 7]
On note A l’évènement :"Choisir une boule blanche" et B l’évènement :"Choisir le numéro 3". Calculer PA(B) et PB(A) ( Interpréter dans le contexte de l’exercice)
Propriété 1.
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Exemple 2.
Un sac contient 8 jetons dont 3 blancs .Arnaud choisit au hasard un jeton qu’il conserve puis Benoît en tire un autre.
On note A l’évènement :"le jeton d’Arnaud est blanc" et B :"le jeton de Benoît est blanc". Calcule P (A ∩ B)
Modélisation à l’aide d’un arbre pondéré
On reprend l’exemple précédent.On peut représenter l’expérience aléatoire à l’aide d’un arbre pondéré :
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Règles
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Formule des probabilités totales[pic 11]
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Définition 2.
Remarque 2.[pic 13]
Si 0 < P (A) < 1 , alors les évènements A et A forment une partition de l’univers.
Propriété 2.
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Cas particulier :
Si A et A forment une partition de l’univers , alors P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B)[pic 15]
Interprétation à l’aide d’un arbre pondéré
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Exemple 3.
Reprendre l’énoncé de l’Exemple2 ( Arnaud et Benoît ) et calculer la probabilité que Benoît tire un jeton blanc.
Indépendance
Evènements indépendants
Définition 3.[pic 18]
Propriété 3.
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Preuve :
Exemple 4.
On prend au hasard un nombre dans l’univers E et on note D l’évènement "le nombre est pair" et T "le nombre est un multiple de 3’.
Déterminer si D et T sont indépendants
♦ E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ♦ E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Remarque 3.
Ne pas confondre evènements indépendants et évènements incompatibles :
- Deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si P (A ∪ B) = P (A) × P (B)
- Deux évènements A et B sont incompatibles si et seulement si P (A ∪ B) = ∅
Propriété 4.
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Preuve :
Remarque 4.[pic 22][pic 23][pic 24]
Par symétrie , si A et B sont indépendants , alors A et B , A etB le sont aussi
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