Probabilité conditionnelle

1°) Probabilité conditionnelle

1-1 Exercice

Dans un lycée de 1000 élèves , 45 % des élèves sont des filles , 55 % des garçons . Parmi les filles , 30 % sont des internes et 70 % des externes

Parmi les garçons , 60 % sont internes et 40 % externes

a) Représenter cette situation par un arbre

b) Calculer la probabilité de tirer , dans le fichier élève de tous les élèves du lycée ,

• une fille externe

• un élève externe

c) On tire le fichier d’un élève et on constate qu’il est externe . Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

1-2 Définition

Soit une expérience aléatoire d’univers des possibles Ω ,

B un évènement tel que p(B) ≠ 0

A un évènement

La probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé , notée

ou est le nombre

Exemple 1

Un élève tire au hasard et sans la montrer une carte d’un jeu de 32 cartes , il affirme qu’elle est rouge . Quelle est la probabilité que la carte tirée soit une figure ?

Exemple 2

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules jaunes . On tire au hasard , successivement et sans remise deux boules de l’urne . Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?

Exemple 3

Une urne contient 26 jetons sur chacun desquels est inscrite une des 26 lettres de l’alphabet . Les lettres inscrites sont toutes distinctes

On tire un jeton au hasard . Quelle est la probabilité que ce soit la lettre B sachant que la lettre tirée est une consonne ?

1-3 Propriétés

A et B deux évènements de probabilités non nulles

a)

b)

c) et deux évènements incompatibles

1-4 Partition

Soit une expérience aléatoire d’univers des possibles Ω

B 1 , B 2 , B 3 , ……….. , B n n évènements

B 1 , B 2 , B 3 , ……….. , B n forment une partition de Ω si

• chaque B i a une probabilité non nulle ( p(B i) ≠ 0 )

• deux quelconques d’entre eux sont incompatibles ( i ≠ j ,B i B j = )

• leur réunion est l’univers des possibles Ω (B 1 B 2  …...  B n = Ω )

Exemple 1

A un évènement tel que p(A) ≠ 0 et A ≠ Ω

et forment une partition de Ω

Exemple 2

Dans une classe C , on peut réaliser une partition en considérant l’initiale du nom

Exemple 3

Dans l’expérience tirer une boule parmi 10 boules dont 2 bleues , 5 noires et

3 rouges , les évènements « tirer une boule bleue » , « tirer une boule rouge » et

« tirer une boule noire » forment une partition de l’univers des possibles Ω

1-5 Règles de construction d’un arbre pondéré

Lorsqu’une situation est représentée par un arbre pondéré

a) Les évènements qui se trouvent aux extrémités des branches primaires forment une partition de Ω

b) La probabilité d’une branche primaire est la probabilité de l’évènement qui se trouve à son extrémité

c) La probabilité d’une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l’évènement qui se trouve à son extrémité sachant que le trajet qui mène à son origine a été réalisé

d) La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud est égale à 1

e) La probabilité d’un évènement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin

f) La probabilité d’un évènement associé à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins

1-6 Exercice

a) Compléter l’arbre suivant

0,4

0,3

0,7

b) Calculer p(A C ) , p(A D ) , p(B E ) , p (B F )

1-7 Exercice

Jean a égaré le texte de son exercice de probabilité , mais il dispose de l’arbre ci-

dessous sur lequel il a traduit les principales données de l’exercice

1/4 B

A

1/3

B

2/5

a) Déterminer à l’aide de cet arbre , les probabilités P(A) , ,

b) Ecrire les probabilités manquantes sur les branches

c) Calculer . Ecrire ce résultat sur l’arbre

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