Devoir 1 Maths BTS SIO (CNED).
TD : Devoir 1 Maths BTS SIO (CNED).. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar Staday • 4 Novembre 2016 • TD • 2 026 Mots (9 Pages) • 2 553 Vues
Mathématiques - Devoir 1
Exercice 1 (Calcul propositionnel) (4,5 points)
- « L’adresse IP est inconnue ou son masque est inconnu. » (Loi de Morgan)
- « Si l’adresse IP et son masque sont connus alors l’adresse de l’hôte est connue. »
- Table de vérité de P ∧ Table de vérité [pic 1][pic 2]
P | Q | [pic 3] | P ∧ [pic 4] | ||
V | V | F | F | ||
V | F | V | V | ||
F | V | F | F | ||
F | F | V | F | ||
P | Q | [pic 5] | v Q[pic 6] | P Q[pic 7] | [pic 8] |
V | V | F | V | V | F |
V | F | F | F | F | V |
F | V | V | V | V | F |
F | F | V | V | V | F |
- Les valeurs logiques des tables de vérité P ∧ et de sont les mêmes donc ces deux propositions sont équivalentes.[pic 9][pic 10]
A | [pic 11] | A v [pic 12] |
V | F | V |
F | V | V |
- a.
b. D’après la question 3, on peut remplacer P ∧ par . La proposition s’écrit alors () ou (P Q) Elle est donc de la forme v A et d’après le petit a), c’est une tautologie.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
c. non( () ∧ (P ∧ Q) ) = non() v ()[pic 18][pic 19][pic 20]
= (P Q) v ( v )[pic 21][pic 22][pic 23]
= ( v Q) v ( v )[pic 24][pic 25][pic 26]
= v Q v v [pic 27][pic 28][pic 29]
= (P v ) v (Q v )[pic 30][pic 31]
= 1 v 1
= 1
d. D’après c. la proposition est toujours vraie, c’est donc une tautologie.
Exercice 2 (Algèbre de Boole) (5 points)
1. « Voyager seul en train en Espagne » se traduit par : . . ou . . [pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]
2. L’expression booléenne + c se traduit par : Voyager en train ou avec son associé.[pic 38]
3. En Espagne seul : . [pic 39][pic 40]
En avion en Espagne : a . [pic 41]
En Belgique en avion : b . a ou a . b
En Belgique seul : b . [pic 42]
Seul en train en Espagne : . . [pic 43][pic 44][pic 45]
L’expression booléenne des possibilités décrites par les notes de l’agenda est : . + a . + a . b + b . + . . [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]
4. Or a . + a . b = a . ( + b) = a . 1 = a, d’où l’expression simplifiée : . + a + b . + . . [pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]
5. Tableau de Karnaugh de l’expression précédente :
ab | 00 | 01 | 11 | 10 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
6. D’après le tableau on a 1 dès que c = 0 et sinon lorsque a = 1 c'est-à-dire quand a est vrai et c est faux. La forme simplifiée de l’expression est donc : a + [pic 61]
7. b . + a + b . + . . = a + . + b . + . . [pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]
= a + ( + b) . + . . [pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]
= a + 1 . + . . [pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]
...