Suite: terminale S.

• Définitions Suite définie par récurrence : Un1= f Un

Raisonnement par récurrence :

• Initialisation : On démontre que la propriété est vraie pour l'entier m • Hérédité : On suppose que le proposition est vraie pour un entier n quelconque avec n≥m (Hypothèse de récurrence) On démontre que la proposition est vraie pour l'entier n1 . • Conclusion : On a alors démontré que Pn est vraie pour tout entier n≥m • Suites bornées sens de variation

• Une suite Un est majorée si il existe une réel M tel que ∨n∈ℕ,Un≤M .

• Une suite Un est minorée si il existe une réel M tel que ∨n∈ℕ,Un≥M . • Une suite Un est bornée si elle est à la fois minorée et majorée. Il existe deux réels m et M tel que ∨n∈ℕ, m ≤Un≤ M .

Remarque : UnestbornéesiilexisteunréelM telque∨n∈ℕ,∣Un∣≤M

• Unestunesuitecroissantesi∨n∈ℕ,Un≤Un1

• Unestunesuitedécroissantesi∨n∈ℕ,Un≥Un1

• Unestunesuitestationnairesi∨n∈ℕ,Un1=Un

• Convergence

• Une suite est convergente si elle tend vers un réel L • Une suite est divergente si elle tend vers ∞ • Une suite est divergente si elle ne converge pas • Si une suite converge vers L alors elle est unique • Une suite est convergente vers 0, ssi, ∣Un∣ converge vers 0 • Toute suite croissante et majorée est convergente • Toute suite croissante et minorée est convergente • Composée d'une suite et d'une fonction

• Ununesuite,etune fonction f.Si lim x∞

Un=aetsilim xa

f x=balors lim x∞

f Un=b

• Si lim n∞

Un=l, alors lim n∞

Un1=l

• Limites et ordre

• Si Unestunesuiteàtermespositifsà partird'uncertainrangquiconvergeversLalorsL≥0 • Soit Ununesuitedéfiniesurℕ,croissante.SiUnconvergeversLalors∨n∈ℕ,Un≤L • Toute suite croissante et non majorée diverge vers ∞ • Toute suite décroissante et non minorée diverge vers −∞

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