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Le second degré

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Par   •  11 Mars 2021  •  Cours  •  1 380 Mots (6 Pages)  •  260 Vues

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Chapitre 1. Le second degrés

1. Fonction carré

        A. Définition

La fonction f définie sur par est appelée “fonction carré”. [pic 1][pic 2]

        B. Variation

La fonction carré est croissante sur [ 0 ; + ∞ [ et décroissante sur ] – ∞ ; 0 ].

x

∞                                                    0                                                           + ∞

Variations de f

[pic 3][pic 4]

                                                          0

        C. Représentation graphique de la fonction carré

Dans un repère orthonormal la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet O. Cette parabole a pour équation .[pic 5][pic 6]

Cette parabole est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

[pic 7]

        D. Signe de x²

x

∞                                                    0                                                           + ∞

Signe de x²

                             +                           0                                 +                          


2. Fonctions polynômes du second degré

        A. Définition

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur par :[pic 8]

, où a, b et c sont des nombres réels connus et [pic 9][pic 10]

Exercice : Déterminer si les fonctions suivantes sont des fonctions polynômes du second degré : f, g et h sont définies sur IR par : [pic 11]

         f est un polynôme du 2nd degré[pic 12]

                 g est un polynôme du 2nd degré[pic 13]

                h n’est pas un polynôme du 2nd degré[pic 14]

        B. Racines

Définitions :

Soit un polynôme f du second degré, avec  on appelle racines de  f, les solutions de l’équation de l’équation  [pic 15][pic 16][pic 17]

Exemples :

0 est la racine de la fonction carré.

        2 est une racine du polynôme f[pic 18]

                        – 2 est aussi une racine de f

        g n’a pas de racine [pic 19]

Remarque :

Un polynôme du second degré possède au plus deux racines.

        C. Représentations graphique

La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole.

        Si alors la parabole est “tournée vers le haut”[pic 20]

        Si alors la parabole est “tournée vers le bas”[pic 21]

[pic 22]

D. Forme factorisée

Propriété :

Soit un polynôme  f  du second degré, avec [pic 23][pic 24]

– Si et  sont tous les deux racines de  f  alors  f  peut se factoriser par  et par et on a pour tout x réel [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

et [pic 30][pic 31]

– Si est l’unique racine de  f  alors  f  se factorise par et on a pour tout x réel [pic 32][pic 33][pic 34]

et [pic 35][pic 36]

...

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