Exercice 4. Continuité, dérivabilité, continuité de la dérivée.
Cours : Exercice 4. Continuité, dérivabilité, continuité de la dérivée.. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar kinvoh • 27 Février 2017 • Cours • 1 054 Mots (5 Pages) • 590 Vues
Exercice 4. Continuité, dérivabilité, continuité de la dérivée.
Pour chacune des applications f, g, h, de R dans R, définies de la façon suivante : f (x) = [pic 1] g (x) = [pic 2] h (x) = [pic 3] Déterminer l'ensemble des points x ∈ R où l'application est continue, puis l'ensemble des points x ∈ R où elle est dérivable, et l'ensemble des points x ∈ R où elle est continûment dérivable. |
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Solution.
1°/ Fonction f.
Lorsque x tend vers 0, [pic 4]tend vers l'infini et sin [pic 5]n'a pas de limite, puisque la fonction sinus est périodique.
Donc la fonction f n'est pas continue en 0.
Elle n'est donc ni dérivable en 0, ni, a fortiori, continûment dérivable en 0.
2°/ Fonction g.
Lorsque x tend vers 0, comme la fonction sin [pic 6]est majorée par 1, x sin [pic 7]tend vers 0, la fonction g est continue en 0.
[pic 8]= sin [pic 9]n'a pas de limite lorsque x tend vers 0, donc g n'est pas dérivable en 0.
A fortiori, g n'est pas continûment dérivable en 0.
3°/ Fonction h.
Lorsque x tend vers 0, comme la fonction sin [pic 10]est majorée par 1, x ² sin [pic 11]tend vers 0, la fonction h est continue en 0.
[pic 12]= x sin [pic 13]tend vers 0 lorsque x tend vers 0, donc h est dérivable en 0, et h ' (0) = 0.
Pour x ≠ 0, la dérivée de h est : h ' (x) = 2 x sin [pic 14]– cos [pic 15].
Lorsque x tend vers 0, cette dérivée n'a pas de limite, puisque, si 2 x sin [pic 16]tend bien vers 0, la fonction cosinus est périodique.
Donc la fonction h n'est pas continûment dérivable en 0.
Exercice 9. Fonction Arc sin (1 – x).
Soit la fonction f (x) = Arc sin (1 – x). 1°/ Quel est son domaine de définition. |
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Solution.
1°/ Domaine de définition.
Si l'on pose y = f (x), nous avons, par définition :
1 – x = sin y
– [pic 17][pic 18]y [pic 19][pic 20].
Comme sin y doit être un nombre réel compris entre – 1 et 1, la fonction f est définie lorsque 1 – x est compris entre – 1 et 1.
– 1 [pic 21]1 – x [pic 22]1, soit 0 [pic 23]x [pic 24]2.
Le domaine de définition de la fonction Arc sin (1 – x) est l'intervalle fermé [ 0, 2 ]. |
2°/ Dérivée.
La fonction f (x) = Arc sin (1 – x) est une bijection de [ 0, 2 ] sur [pic 25], donc la bijection réciproque est x = 1 – sin y = f –1 (y).
Le théorème de dérivation des fonctions réciproques donne :
f ' (x) = [pic 26],
ce qu'on peut écrire, par abus de notation, mais qui fournit un moyen mnémotechnique facile, [pic 27]= [pic 28].
Or la dérivée en y de f –1 (y) = 1 – sin y est (f –1)' (y) = – cos y = – [pic 29]puisque dans l'intervalle [pic 30], le cosinus est positif.
Donc, avec 1 – x = sin y, (f –1)' (f (x)) = – [pic 31]et la dérivée de f est donnée par la formule :
f ' (x) = – [pic 32] |
Exercice 8. Plus grand élément de f (x) / x.
On désigne par f une application dérivable de [ 0, 1 ] dans R, telle que : 1°/ Montrer que g est continue sur [ 0, 1 ]. |
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Solution.
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