Développements limités
Cours : Développements limités. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar Oussamam • 15 Décembre 2016 • Cours • 1 706 Mots (7 Pages) • 664 Vues
CHAPITRE 3 DEVELOPPEMENTS LIMITES
Le but de ce chapitre est de montrer que certaines fonctions usuelles peuvent être approchées localement par des fonctions polynomiales.
I- Développement limité au voisinage de 0:
Définition: Soit f une fonction définie au voisinage de 0 sauf peut-être en 0. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0, et on note DLn0 , s’il existe
un polynôme de degré inférieur ou égal à | n , | Pn (x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + + an x n tel que | |
∀ x ∈V 0 | f (x ) = Pn (x )+ x n ε (x ) | avec | lim ε (x ) = 0 . |
x →0 |
La partie polynomiale Pn (x ) s’appelle la partie régulière ou partie principale du DL et xnε (x ) s’appelle le reste ou le terme complémentaire.[pic 1]
Théorème: Si f | admet un DLn0 alors il est unique. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Condition suffisante d’existence d’un DL: Si f | est définie sur un voisinage de 0 et si f | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
est n fois dérivable en 0 alors f | admet un DLn0 | donné par la formule suivante dite formule | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
de Maclaurin Young : | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f | ( | x | ) | = f | ( | 0 | ) | + | x | f ' | ( | 0 | ) | + | x 2 | f '' | ( | 0 | ) | + | + | x n | f | (n ) | ( | 0 | ) | + x n ε | ( | x | ) | avec lim ε | ( | x | ) | = 0 . | ||||||||||||||||
n ! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1! | 2! | x →0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ceci nous donne les DLn0 | suivants des fonctions usuelles. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | = 1 + x + x 2 + + x n | + x n ε | (x ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1-x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | = 1 − x + x | 2 + + | ( | −1 n x n | + x n ε | ( | x | ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+x | ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e x = 1 + x + | x 2 | + + | x n | + x n ε | (x ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n ! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 | n −1 x n | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln (1 + x ) = x − | + + ( −1) | + x n ε (x ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | n | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln 1− x | ) | = − x − | x 2 | − − | x n | + x n ε | ( | x | ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( | 2 | n | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 + x )α = 1 + α x + α ( α − 1) | x 2 | + + α (α − 1) | (α − n + 1) | x n | + x n ε (x ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! | n ! |
[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
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