Devoir de math corrigé

                                                      Devoir de Mathematiques n°2

Exercice 1 (5 points)

La droite D a pour équation y= 4/3 x - 5/3. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.

 1 La droite D passe par l’origine du repère. : Faux car -5/3 ≠ 0

2 La droite D passe par les points et A (1/4 ; 4/3) et B(5 ; 5). : Vrai d'après la table

3 L’équation 4x - 3y= -5 permet de construire une droite parallèle à D . : Vrai car elles ont le même coefficient directeur  4/3.

4 la droite D et la droite d’équation y= -2x + 3 coupe D au point de coordonnées (1,4 ; 0,2). : Vrai car (1,4;0,2) est dans les 2 tables.

5 La droite D et la droite d’équation y= 1,33x sont sécantes. : Vrai car 4/3≠1,33.

6 La droite D coupe l’axe des ascisses en C(1 ,25 ; 0) : Vrai car 4/3x-5/3=0 donne x=5/4.

Exercice 2 

On donne : A (-2 ; -5),  B(2 ; 1) et C(5 ; -1) dans un repère orthonormé.

1) *Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

BA = (2-(-2))² + (1 - (-5))²

BA =   4² + 6²

BA = 16 + 36

BA = 52

BC = (2 - 5)² + (1 -(-1))²

BC = (-3)² + 2²

BC = 9 + 4

BC = 13

AC = ((-2)- 5)² + ((-5) - (-1))

AC = 49 + 16

AC = 65

Maintenat si l'on veut savoir si le triangle ABC est rectangle on utilise le Theorème de Pythagore.

BA est le coté le plus long

AC²= 65

BC² + AB² =   13 + 52 = 65

Donc AC² = BC² + AB² . On peut donc dire que le triangle ABC est rectangle selon le theorème de Pythagore.

2) Déterminer les coordonnées du milieu M de [AC].

A (-2 ; -5) et C(5 ; -1) 

xM = -2 + 5 / 2

yK = -5 + (-1) / 2

xM = 3/2                         yM = (-6)/2

Donc les cordonnées de M sont (1.5 ; -3)

3) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un rectangle.

Soit M le milieu commun des diagonales [AC] et [BC] du parallelogramme ABCD

On a : xM = -2 + 5/2       et           yM = -5 + -1/2

           xM = 3/2                              yM = -6/2        

           xM = 1.5                                    yM = -3    

Donc les cordonées de M sont (1.5 ; -3)

 M étant aussi le milieu de la diagonale [BD], on a:

xM =  2 + xD/2                   et                             yM = 1 + yD/2

1.5 = 2 + xD/2                                                     -3  =  1 + yD/2

3/2 = 2 + xD/2                                                    -3/2 = 1 + yD/2

3 = 2 + xD                                                            -3 = 1 + yD

3 - 2 = xD                                                            -3 - 1 = yD

1 = xD                                                                  -4 = yD

Donc les cordonées de D sont (1 ; -4)

Exercice 3 

On considère un carré ABCD. Les points K et L appartiennent respectivement à [AB] et [CD] et sont tels que : AK= 2/5 AB et DL= 3/5 DC.

1) Dans le repère (A, B, D), préciser les coordonnées des points A, B, C, D, K et L.

Dans le repère les cordonées des points sont  :

A(0; 0)

B(1;0)

C(1;1)

D(0;1)

K(2/5;0)

L(3/5;1)

2) Déterminer les équations des droites (DK) et (BL) dans ce repère. Que dire de ces deux droites ? Justifier.

La droite (DK) a comme équation réduite: y=ax+b avec

a=(yK-yD)/(xK-xD)=(0-1)/(2/5-0)=-5/2 = -2,5

b=yD=1

 donc (DK) à pour équation y= -2,5 x+1

La droite (BL) a comme équation réduite: y = -2,5 x + b

On exprime que B(1;0) appartient a la droite donc :

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