Corrigé exercices de maths

Méthodes quantitatives :

Exercice 1 :

Le cours de l’action de l’entreprise X s’élevait à 100 Euros le 1/1/2016 ; durant le premier semestre de l’année 2016 le cours de ce titre a augmenté de 10% par mois ; durant le deuxième semestre le cours a diminué de 5% par mois.

Calculer le cours de cette action au 31/12/2016 et le taux de croissance trimestriel moyen durant l’année 2016.

Corrigé :

Durant le premier semestre, le cours est multiplié chaque mois par (1 + 10%) soit par 1.1 ; donc sur ce premier semestre le cours est multiplié par 1.1 à la puissance 6 soit : 1.16

Durant le second semestre, le cours est multiplié chaque mois par (1-5%) soit par 0.95 ; donc ce cours est multiplié par 0.95 à la puissance 6 (soit 0.956) sur l’ensemble de ce semestre.

On peut écrire pour l’ensemble de l’année :

                         Cours au 31/12/2016 = 100 x 1.16 x 0.956 = 130.23 €

On note r le taux de croissance trimestriel moyen ; le cours est multiplié par (1 + r) à chaque trimestre ; il est donc multiplié par (1+ r) à la puissance 4 durant l’année soit (1+r)4

On peut écrire pour l’ensemble de l’année :

                         Cours au 31/12/2016 = 100 (1+ r)4

On égalise les deux relations :

                          100 (1+ r)4 = 100 x 1.16 x 0.956

On simplifie par 100 :

                           (1+ r)4 = 1.16 x 0.956

On utilise une propriété sur les puissances (rappel : an x bn = (a x b)n )

                           (1 + r)4 = (1.1 x 0.95)6

On élève à la puissance ¼ les deux membres de l’égalité afin d’utiliser une autre propriété sur les puissance ( rappel : (an)m = an x m ) :

                           {( 1 + r )4}1/4 = {(1.1 x 0.95)6}1/4

                     ⬄   ( 1 + r )4 x ¼  = (1.1 x 0.95)6 x ¼ 

                     ⬄              1 + r =  (1.1 x 0.95)6/4 = (1.1 x 0.95)3/2

                     ⬄              1 + r = 1.0683

                     ⬄                    r = 1.0683 – 1 = 0.0683 ou 6.83%

Variante : on suppose à présent que le taux de croissance mensuel du second semestre est de -10%.

                         Cours au 31/12/2016 = 100 x 1.16 x 0.96 = 94.15 €

                                        1 + r =  (1.1 x 0.9)6/4 = (1.1 x 0.9)3/2

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