LaDissertation.com - Dissertations, fiches de lectures, exemples du BAC
Recherche

Cours de maths: l'algèbre linéaire numérique

Cours : Cours de maths: l'algèbre linéaire numérique. Recherche parmi 241 000+ dissertations

Par   •  5 Décembre 2012  •  Cours  •  320 Mots (2 Pages)  •  645 Vues

Page 1 sur 2

CPP Thème MATHS - Partie sur l'algèbre linéaire numérique - Emmanuel Maitre

Format du cours : cours-TD et séances de TP illustratives.

1 . Introduction - Mise en perspective :

 Présentation de quelques problèmes issus de la physique, des mathématiques financières, de l'infographie, menant à la résolution de systèmes linéaires.

 Commentaires sur la taille de ces systèmes versus les ressources de calcul disponibles actuellement.

2. Méthode Gauss et LU

 Algorithme naïf, complexité. Révisions sur les mineurs et condition d'existence de la factorisation LU. Théorème d'existence.

 Stockage mémoire efficace. Notion de pivot partiel et total abordé en TP lors de l'implémentation de ces méthodes.

 Cas particulier des matrices tridiagonales, leur intérêt dans les applications.

3. Méthode de Choleski

Théorème d'existence : démonstration à partir de LU ou par récurrence sur la taille de la matrice. Algorithme.

4. Factorisation QR

 Rappel sur les matrices orthogonales, démonstration de l'existence de la factorisation. Lien avec l'orthonormalisation de Gram-Schmidt.

 Algorithme : mise en évidence en TP de l'instabilité de l'algorithme basé sur GS standard, version modifiée.

 Méthode de Householder, matrices de rotation de Givens. Algorithme correspondant.

5. Normes de matrices et conditionnement

 Rappel sur les normes d'applications linéaires et définition de normes de matrices. Calcul des normes standard. Normes multiplicatives. Rappel sur le rayon spectral.

 Série géométrique de matrices : expression de la somme. Conditionnement : définition estimation de l'erreur sur la solution en fonction de l'erreur sur la matrice ou le second membre.

 Exemples de l'impact en TP.

6. Moindres carrés

 Définition, exemples de différents contextes où de tels problèmes apparaissent.

 Lien avec la méthode QR. Application en TP sur des problèmes de moindres carrés.

7. Calcul de valeurs propres

 Introduction sur les valeurs propres, liens avec quelques phénomènes physiques.

 Localisation de valeurs propres : ce que la théorie nous dit et en quoi cela peut aider le calcul

 Méthode de la puissance, puissance inverse, démonstration de convergence, conditionnement d'un pb de valeurs propres,

 Méthode QR pour le calcul des valeurs propres, mise en pratique et test de ces méthodes en TP.

...

Télécharger au format  txt (2.4 Kb)   pdf (59.8 Kb)   docx (8.7 Kb)  
Voir 1 page de plus »
Uniquement disponible sur LaDissertation.com