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Cours de maths trigonométrie

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Par   •  7 Février 2016  •  Cours  •  910 Mots (4 Pages)  •  1 039 Vues

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TRIGONOMETRIE I.         Radian 

 

1) Rappels

  1. Plan orienté [pic 1]

Le plan est dit orienté lorsqu’un sens positif de rotation est choisi.

 

Par convention, on définit le sens positif comme l’inverse de celui des aiguilles d’une montre ; on l’appelle sens trigonométrique ou sens direct.

 

  1. Cercle trigonométrique

Dans le plan muni du repère orthonormé direct[pic 2], le cercle trigonométrique est le cercle C de centre O et de rayon 1.

 

  1. Enroulement sur C 

 

Propriété 

Si le point N de la tangente à C en I est associé à un réel x, alors les réels associés à N sont ceux de la forme [pic 3] où k est un entier relatif.  

 

 

2) Définition  

 

Soit  A le point de la tangente à C en I d’abscisse 1 et B le point de C  associé au réel 1. On définit 1 radian comme étant la mesure de l’angle . [pic 4]

[pic 5] 

Remarque :

  • L’angle plat [pic 6] mesure [pic 7] radians et 180 degrés ; on utilise cette correspondance et la proportionnalité pour convertir des degrés en radians et inversement.

Tableau de conversion :

x  en radians

0

[pic 8] 

[pic 9] 

[pic 10] 

[pic 11] 

[pic 12] 

[pic 13] 

[pic 14] 

[pic 15] 

[pic 16] 

x  en degrés

0

30

45

60

90

120

135

150

180

360

 

[pic 17] 

        II.         Angles orientés 

 

1. Mesure d’un angle orienté

 [pic 18]

Soit [pic 19] et [pic 20] deux vecteurs non nuls.  

Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct

[pic 21],  on considère les points M et N du cercle trigonométrique C   tels que [pic 22] et [pic 23] soient colinéaires et  [pic 24] et [pic 25] soient collinaires.

 

 

Définition :

Une mesure en radian de l’angle orienté                                est la différence où x et y sont les réels associés respectivement à M et N.  [pic 26][pic 27]

 

 

Remarque : le réel x associé à M est une mesure en radian de l’angle orienté  [pic 28].

 

2. Propriété

 

 [pic 29]

Si [pic 30] est une mesure en radian de l’angle orienté               , alors les autres mesures en radian de cet angle orienté sont égales à où k est un entier relatif. [pic 31]

On note :

                   [pic 32][pic 33]

 

 

...

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