Correction de microéconomie

Exercice 1 (7 points) Soit la fonction dutilitØ u(x1;x2) = 1 2(x1)2+x2 que le consommateur maximise le long de sa contrainte de budget p1x1 + p2x2 = R; avec p1 le prix du bien 1, p2 le prix du bien 2 et R le revenu disponible du consommateur. Question 1 DØterminer les demandes marshallienne et hicksienne correspondantes. Utilisez soit la mØthode du Lagrangien, soit la mØthode de rØsolution par substitution (plus rapide!). Question 2 Que constatez-vous? Question 3 Pourquoi?

CORRECTION Demande marshallienne: Max x1;x2 1 2x2 1 + x2 sous la contrainte p1x1 + p2x2 = R: Substitution: x2 = R p2 p1 p2 x1 )Max x1

1 2x2 1 + R p2 p1 p2 x1:

CPO: x1 p1 p2 = 0 ) x 1 = p1 p2 = x(p1;p2): Demande hicksienne: Min x1;x2 p1x1 + p2x2 sous la contrainte u = 1 2x2 1 + x2: Substitution: x2 = u 1 2x2 1 )Min x1 p1x1 + p2(u 1 2x2 1): CPO: p1 p2x1 = 0 ) x 1 = p1 p2 = hx(p1;p2): On a donc hx(p1;p2) = x(p1;p2); fonction dutilitØ quasi linØaire.

Exercice 2 (7 points) La fonction dutilitØ de Claire est: U(C;L) = ln(LL) + ln(C C); oø C reprØsente la quantitØ de biens de consommation quelle achŁte au prix p et L la quantitØ de loisir quelle consomme. Son niveau de consommation de subsistance est C et sa quantitØ de loisir minimum

1

L: On suppose C > C et L > L toujours vØriØes. Lorsquelle travaille, son salaire est Øgal w. Elle dispose dun revenu hors travail y non nul. Soit T son temps total disponible. Claire cherche dØterminer les quantitØs optimales C et L qui maximisent son utilitØ. Elle ne sait pas a priori si elle sera amenØe dØpenser tout son revenu. Question 1 Ecrire le programme de maximisation de Claire Question 2 Donner lexpression du Lagrangien gØnØralisØ correspondant Question 3 Claire dØpensera t-elle tout son revenu (votre rØponse doit Œtre dØduite de lapplication des conditions nØcessaires doptimalitØ lexercice)? Rappel: [ln(U)]0 = U0 U : Question 4 Donner, pour une solution intØrieure seulement, lexpression des quantitØs optimales consommØes. Ces quantitØs doivent Œtre fonction des prix, du revenu hors travail et du temps total disponible. Question 5 Donner lexpression du salaire de rØserve de Claire.

CORRECTION Question 1 Le programme de maximisation sØcrit:

Max C;L

ln(LL) + ln(C C) sous les contraintes : pC + wL wT + y L T:

Question 2 Le Lagrangien sØcrit: L = ln(LL) + ln(C C)a1(pC + wLwT y)a2(LT):

Question 3 DØrivØes premiŁres du Lagrangien par rapport aux variables dintØrŒt:

@L(C;L) @C

=

1 C C a1p

@L(C;L) @L

=

1 LL a1wa2:

Conditions nØcessaires doptimalitØ: @L(C;L) @C C;L = 0 et

@L(C;L) @L C;L = 0:) 1 CC a1p = 01 LL a1wa2 = 0: De la premiŁre ØgalitØ on tire: 1 CC = a1p > 0 car CC > 0 ) a1 > 0: Conditions nØcessaires doptimalitØ, conditions dexclusion:

2

a1(pC + wLwT y) = 0 ) pC + wL = wT + y puisque a1 > 0: Ainsi, loptimum, le consommateur dØpense tout son revenu,

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