La formule de Taylor-Young

Formulaire de d ́eveloppements limit ́es La formule de Taylor-Young

Soit f une fonction d ́efinie sur un intervalle I de R avec f d ́erivable n fois sur I et f(n) continue sur I. On consid`ere a ∈ I tel que f(n+1)(a) existe. Alors pour h au voisinage de 0 on a :

f (a + h) = f (a) + f ′ (a)h + f ′′ (a) h2 + f ′′′ (a) h3 + · · · + f (n+1) (a) hn+1 + hn+1 ε(h) 2 3! (n+1)!

ou` ε est une fonction continue au voisinage de 0 v ́erifiant limh→0 ε(h) = 0. Les indispensables

Tous les d ́eveloppements limit ́es pr ́esent ́es sont au voisinage de 0.

∀α ∈ R\N, (1+x)α =

ex = ln(1+x) = sin(x) =

cos(x) = Les pratiques

1

1+x 1

1−x √1+x =

√1 = 1+x

tan(x) =

1+αx+ α(α−1)x2 +···+ α(α−1)...(α−n+1)xn +xnε(x) 2 n!

x2 x3 x4 xn

1+x+ 2 +3!+4!+···+n!+xnε(x)

x2 x3 x4 x5 xn

x− + − + +···+(−1)n+1 +xnε(x)

2345 n

x3 x5 x7 x9

x− + − + +···+(−1)k

x2k+1 (2k + 1)!

x2k (2k)!

3! 5! 7! 9!

+x2k+1ε(x)

+x2kε(x)

x2 x4 x6 x8

1− + − + +···+(−1)k

2 4! 6! 8!

= 1−x+x2 −x3 +x4 +···+(−1)nxn +xnε(c)

= 1+x+x2 +x3 +x4 +···+xn +xnε(c)

1+ 1x− 1 x2 + 3 x3 − 3×5 x4 +... 2 2×4 2×4×6 2×4×6×8

···+(−1)n+13×···×(2n−3)xn +xnε(x) 2×···×(2n)

1−1x+ 3 x2− 3×5 x3+ 3×5×7 x4+... 2 2×4 2×4×6 2×4×6×8

···+(−1)n3×···×(2n−1)xn +xnε(x) 2×···×(2n)Formulaire de d ́eveloppements limit ́es La formule de Taylor-Young

Soit f une fonction d ́efinie sur un intervalle I de R avec f d ́erivable n fois sur I et f(n) continue sur I. On consid`ere a ∈ I tel que f(n+1)(a) existe. Alors pour h au voisinage de 0 on a :

f (a + h) = f (a) + f ′ (a)h + f ′′ (a) h2 + f ′′′ (a) h3 + · · · + f (n+1) (a) hn+1 + hn+1 ε(h) 2 3! (n+1)!

ou` ε est une fonction continue au voisinage de 0 v ́erifiant limh→0 ε(h) = 0. Les indispensables

Tous les d ́eveloppements limit ́es pr ́esent ́es sont au voisinage de 0.

∀α ∈ R\N, (1+x)α =

ex = ln(1+x) = sin(x) =

cos(x) = Les pratiques

1

1+x 1

1−x

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