Thermodynamique, compléments mathématiques

Annexe

COMPLEMENTS MATHEMATIQUES

Remarque préalable :

Dans toute cette annexe, on notera ℜ l'ensemble des réels.

I - FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

1°) Définition

Une fonction de plusieurs variables est une application de ℜn dans ℜ :

f :ℜn →ℜ x1,x2,...,xn → f (x1,x2,...,xn) Exemple :

f :ℜ3 →ℜ

x,y,z→ f(x, y,z) = 2xy + z3

2°) Dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables

On dit que f, fonction de n variables, est différentiable par rapport à l'ensemble des n variables en un point (x10,x20,…,xn0), si l'on peut écrire :

f (x10 + Δx1,x20 + Δx2,...,xn0 + Δxn)= f(x10,x20,...,xn0)+ A1Δx1 + A2Δx2 +...+ AnΔxn où A1, A2…,An sont des fonctions qui tendent vers des limites finies quand Δx1, Δx2…,Δxn tendent vers 0.

Au point x10, x20, …, xn0, Ai →  ∂f    j ,j≠i quand xi →0.    ∂∂xfi     xj,j ≠i représente la dérivée   ∂xi x         [pic 1]

partielle de la fonction f par rapport à la variable xi, à l'ensemble des autres variables xj, j≠i constantes.

Exemple :

f :ℜ3 →ℜ

x,y,z→ f(x, y,z) = 2xy + z3

Cette fonction de trois variables admet trois dérivées partielles :

 ∂f  dérivée partielle par rapport à x, à y, z constants  ∂x y, z[pic 2]

  ∂f  dérivée partielle par rapport à y, à x, z constants  ∂y x,z[pic 3]

 ∂f          dérivée partielle par rapport à x, à y, z constants[pic 4]

 ∂z x, y

Les dérivées partielles se calculent comme des dérivées de fonction d'une seule variable, simplement en considérant les autres variables comme des constantes.

Exemple :

f (x,y,z)= x2y + y2 ;   ∂∂xf   y, z = 2xy;    ∂∂yf   x,z = x2 + 2zy ;  ∂f  = − y22 z         ∂z x, y z[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

3°) Théorème de Schwarz

Soit une fonction de n variables, f(x1, x2, …, xn). On peut dériver cette fonction une première fois par rapport à la variable xi, puis par rapport à la variable xj (j≠i) : =   ∂∂xfi     , ou[pic 11]

∂2 f ∂ 

∂xj∂xi ∂x j 

d'abord par rapport à xj, puis par rapport à xi : ∂2 f ∂   ∂f   . Si ces deux dérivées secondes[pic 12]

        =         ∂x 

        ∂xi∂x j ∂xi          j 

sont définies et continues en un point, alors elles sont égales.

Exemple :

f (x,y,z)= x2y + y2 ;           ∂∂xf   y, z = 2xy;            ∂∂yf   x,z = x2 + 2zy ;           ∂∂fz         = − y22 z         x, y        z[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

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