Espérance Et Variance En Maths

Espérance et Variance

Une loi de probabilité peut être caractérisée par certaines valeurs typiques correspondant aux notions de valeur centrale, de dispersion et de forme de distribution.

4.1 Espérance mathématique

L’espérance d’une variable aléatoire E(X) correspond à la moyenne des valeurs possibles de X pondérées par les probabilités associées à ces valeurs. C’est un paramètre de position qui correspond au moment d’ordre 1 de la variable aléatoire X. C’est l’équivalent de la moyenne arithmétique . En effet lorsque le nombre d’épreuves n est grand, tend vers E(X) (voir estimation).

4.1.1 Variables aléatoires discrètes

Si X est une variable aléatoire discrète définie sur un univers probabilisé , on appelle espérance de X, le réel défini par :

Remarque : Si X() est infini, on n’est pas sûr que l’espérance existe. L’espérance mathématique est également notée (X), X ou encore  si aucune confusion n’est à craindre.

Nous pouvons donner une autre définition de l’espérance d’une variable aléatoire discrète X si à   , on associe l’image x telle que X() = x.

Théorème :

Si X est une variable aléatoire discrète de loi de probabilité (xi, pi)i définit sur un nombre fini (n) d’évènements élémentaires alors :

Exemples :

(1) Si l’on reprend l’exemple d’une fratrie de deux enfants, l’espérance de la variable aléatoire « nombre de filles « est :

E(X) = 0 * 1/4 + 1* 1/2 + 2*1/4 = 1 d’où E(X) = 1

Si l’on observe un nombre suffisant de fratries de 2 enfants, on attend en moyenne une fille par fratrie.

(2) Quand est-il de l’espérance de la variable aléatoire X de valeurs 0, 1, 2 et 3 avec respectivement les probabilités 0,1 ; 0,2 ; 0, 3 et 0,4 ? Réponse.

4.1.2 Variables aléatoires continues

Si X est une variable aléatoire absolument continue de densité , on appelle espérance

de X, le réel E(X) , défini par : E(X) = x f(x)dx

si cette intégrale est convergente.

Exemple :

Si on reprend l’exemple de la recolonisation de l’étang par les canards colverts, la durée moyenne pour la recolonisation est :

3/2 (voir Démonstration)

Sous ce modèle, la durée moyenne de recolonisation pour l’ensemble de la population de canards colverts est de 1,5 minutes.

Remarque : Dans cet exemple, la variable étudiée t ne peut prendre que des valeurs dans

[0, +[

4.1.3 Propriétés de l’espérance

Les propriétés de l’espérance valent aussi bien pour une variable aléatoire discrète ou une variable aléatoire absolument continue.

Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur un même univers , admettant

une espérance, alors :

(P1) E(X+Y)=E(X)+E(Y)

(P2) E(aX)=aE(X) a  R

(P3) Si X  0 alors E(X)  0

(P4) Si X est un caractère constant tel que :    X () = k alors E(X) = k

Remarque : Dans le cas continu, E (X+Y) = (x+y) f(xy)dxdy. La propriété P1 est vérifiée quelques soient les relations de dépendance ou d’indépendance statistique entre les deux variables.

Voici pourquoi :

Nous démontrerons les propriétés dans le cas de deux variables aléatoires discrètes avec

pi, la probabilité de réalisation de {X = xi} et {Y = yi} et n évènements élémentaires.

(P1)

(P2)

(P3)

...