Grand oral sur la simplification de la multiplication

GRAND ORAL SUJET 1 :

COMMENT LA MULTIPLICATION EST-ELLE DEVENUE SI SIMPLE ?

Introduction :

La multiplication est une opération fondamentale des mathématiques. C’est une des premières choses qu’on apprend. Bien que la plupart du temps cette opération soit facilement réalisable de tête, elle peut devenir, en fonction du nombre de chiffres plus difficile à réaliser. C’est pourquoi on utilise maintenant certains outils comme la calculatrice qui nous permettent d’exécuter ces calculs sans réfléchir et en une fraction de seconde. Cependant, les scientifiques n’ont pas toujours eu de calculatrices, alors ils ont dû inventer d’autres outils d’autres méthodes pour simplifier et accélérer leurs calculs.  Ainsi dans ma présentation, je vais vous montrer différentes techniques et inventions qui ont permis, au fur et à mesure des siècles de simplifier la multiplication. Malgré la multitude de techniques existantes, je vais vous montrer les plus importantes.

I – La Multiplication par Jalousie ( per gelosia )

Une des premières techniques qui était très répandue au Moyen Age est la multiplication par jalousie, également connue sous le nom de méthode italienne, arabe, grecque ou chinoise, aussi appelée la multiplication per gelosia par tamis, en treillis, par filet, par grillage ou la méthode du tableau, des maisons ou du réseau, du shabakh, la multiplication en diagonale ou en carrés vénitiens. Bref, beaucoup de noms pour quasiment la même technique. On ne connait pas réellement l’origine de cette technique mais on sait qu’elle était présente un peu partout dans le monde. On attribue néanmoins souvent sa démocratisation à Fibonacci.

Pour vous montrer cette technique je vais utiliser un exemple, 58 X 213. La 1ere étape consiste à faire un tableau comme ceci en mettant un nombre en colonne et un autre en ligne. Par la suite, vous devez multiplier pour chaque case, les chiffres correspondant en colonne et en ligne. Par exemple, on multiplie 5 et 2 et on obtient 10. Le résultat doit être mis dans la case comme ceci : le chiffre des dizaines dans le triangle supérieur et le chiffre des unités dans le triangle inferieur droit. On fait ceci pour toutes les cases. Une fois toutes les cases remplies, on fait la somme des diagonales du bas vers le haut en utilisant bien la retenue, par exemple ici : 8+2+5=15. Donc on écrit 5 et on retient 1 pour la diagonale suivante. On fait ceci pour toutes les diagonales et on obtient le résultat. Ainsi 58 X 123=12354. Cette technique permet donc de décomposer la multiplication en plus petites multiplications et en sommes. Néanmoins, la technique reste assez longue à exécuter.

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II – Napier et le logarithme

Une autre invention ayant changé la manière de calculer les multiplications sont les logarithmes. John Napier voulait créer un pont qui relie le monde des additions avec celui des multiplications, ainsi il inventa les logarithmes. Mais d’abord qu’est-ce qu’est réellement le logarithme ? Imaginons deux axes, celui des additions et des multiplications. Celui des additions commence à 0 et s’incrémente à chaque fois de +1. Celui des multiplications commence à 1 et peut s’incrémenter d’une multiplication du nombre que l’on veut. Le plus souvent est utilisé le nombre 10. Alors chaque graduation est incrémentée par une multiplication de 10 : on a 10, 100, 1000, etc. Pour trouver le logarithme d’un nombre, il suffit de regarder la correspondance du nombre de l’axe des multiplications sur l’axe des additions. Par exemple, le nombre 1000 sur l’axe des multiplications équivaut à 3 sur l’axe des additions. Ainsi on dit que le logarithme décimal de 1000 est 3. Décimal, car on a choisi 10 comme second terme, mais on pourrait utiliser tout autres nombres, par exemple si on choisit le nombre exponentiel on obtient le fameux logarithme népérien appelé ainsi en hommage de John Napier.[pic 4]

                        0          1          2          3          4          5          6          7          8          9         10[pic 5][pic 6][pic 7]

                        1         10      100    1000    104      105       106       107        108       109       1010[pic 8]

Maintenant que l’on sait ce qu’est un logarithme, comment l’utiliser pour multiplier plus facilement ? On prend d’abord les logarithmes des deux nombres que l’on veut multiplier. Donc on cherche leurs valeurs sur l’axe des multiplications. Prenons encore une fois 58 et 213. Si on regarde leur valeur dans l’axe des additions, on obtient environ 1.7634 et 2.2383. Ensuite il suffit de les additionner, puis de regarder la correspondance du résultat sur l’axe des multiplications. Ainsi sur notre exemple l’addition nous donne 4.0918 ce qui correspond à 12354 sur l’axe des multiplications. Evidemment calculer le logarithme est assez compliqué, je n’ai pas moi-même trouvé ces valeurs à l’œil nu sur l’axe. C’est dur de trouver le logarithme de chaque nombre mais c’est faisable, et il suffit de le faire une fois pour toute et ensuite on aura plus besoin de calculer. C’est ce que de courageux mathématiciens ont fait et ont créé les tables de logarithmes qui contiennent un grand nombre de valeurs de logarithmes, ces tables étaient ainsi partout, notamment le bouvart et ratinet. Sur ce principe a aussi été créée la règle à calcul qui a été largement démocratisée dans le monde scientifique. Donc on a réussi à trouver une méthode qui est assez rapide et efficace. Le seul problème étant les limitations physiques. Difficile d’aller chercher logarithme pour des nombres à 9 chiffres par exemple.

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