Comment les mathématiques permettent-elles de se localiser précisément sur la Terre, des cartes à la géolocalisation GPS ?

Sujet :

Comment les mathématiques permettent-elles de se localiser précisément sur la Terre, des cartes à la géolocalisation GPS ?

Problématique :

Comment les outils mathématiques permettent-ils de transformer des positions géographiques sur une Terre sphérique en coordonnées exploitables sur une carte ou un écran, avec une précision suffisante pour guider nos déplacements ?

Plan détaillé :

Introduction

• Accroche : question familière – "Comment mon téléphone sait-il exactement où je suis ?"

• Enjeux : de la navigation maritime aux applications de GPS actuelles : la localisation est un enjeu crucial pour les transports, l’armée, les secours, la cartographie, etc.
• Présentation de la problématique et annonce du plan.

I. Représenter la Terre : de la sphère aux coordonnées géographiques

A. La Terre comme une sphère : modèle mathématique

• Hypothèse sphérique ou ellipsoïdale (simplification utile).
• Repérage avec un système de coordonnées : latitude, longitude (coordonnées sphériques).
• Lien avec les notions de

trigonométrie sur le cercle, angles et rayons.

B. Passage aux coordonnées cartésiennes (système géocentrique XYZ)

• Conversion entre coordonnées sphériques et cartésiennes : formules de changement de repère.
• Utilisation dans les systèmes de positionnement (GPS notamment).
• Importance du calcul vectoriel et de la géométrie dans l’espace.

II. Se repérer sur une carte : projections et déformations

A. Pourquoi projeter ?

• Cartes planes vs surface sphérique.
• Impossibilité de représenter une sphère sans déformation (théorème

de Gauss).

• Notions liées aux projections géométriques (mathématiques de la projection).

B. Exemples de projections cartographiques

• Projection de Mercator : conforme mais déforme les surfaces.
• Autres projections (Lambert, équivalente, etc.) selon les usages.
• Conséquences géométriques : distances, surfaces, angles.

III. Se localiser avec précision : le système GPS et les calculs mathématiques sous-jacents

A. Principe du GPS : trilatération dans l’espace

• Utilisation de satellites : intersection

de sphères.

• Mesure des distances grâce au temps de parcours du signal (vitesse de la lumière).

B. Résolution mathématique du problème

• Position déterminée par l’intersection de sphères → système d’équations.
• Méthodes algébriques et géométriques pour résoudre ce système (notions de géométrie analytique, résolution d’équations dans l’espace).

C. Précision et erreurs

• Problèmes liés à la synchronisation des horloges, la relativité, les perturbations.
• Modélisation des erreurs et

traitement statistique (géométrie des incertitudes, algèbre matricielle parfois, non exigé mais mentionné).

...