Statistique générale

Statistique générale

I. Variables aléatoires à valeurs réels : Lois de probabilité

I.1. Variables aléatoires discrètes finies

I.1.1. Introduction : Exemple

Un des deux joueurs lance un dé. Si 1 ou 6 apparait, Paul donne 1€ à Pierre. Si 2, 3 ou 5 apparait Pierre donne 2€ à Paul. Si 4 apparait la partie est nulle

On note X le gain algébrique de Paul.

La valeur X dépend du hasard, c’est la variable aléatoire. X peut prendre les valeurs {-1, 0, 2}, ainsi un nombre fini de valeurs possibles et donc X est une variable aléatoire discrète finie Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Loi de probabilité de variable aléatoire discrète finie X

I.1.2. Variable aléatoire discrète

Soit E une expérience aléatoire ayant un nombre fini d’issues possibles et Ω l’univers des possibilités associées.

Variable aléatoire : toute application Ω dans l’ensemble des réels définie par :

[pic 1]

L’ensemble X(Ω) des valeurs prises par la variable aléatoire s’appelle univers image.

Si K est un élément de l’univers image, L’événement associé à K est l’ensemble noté X-1 (K) des antécédents de K par X.

Exemple :

On lance deux pièces de monnaies simultanément. Le gain est de 1€ quand la pièce indique pile P, la perte est de 1€ quand la pièce indique face F.

On note le gain algébrique X

X (Ω) = {-2, 0, 2}. L’événement associé à X-1(-2) = {FF}, l’événement associé à X-1(2) = {PP}, les événements associé à X-1(0) = {FP, PF}.

I.1.3. Loi probabilité

Soit Ω, l’univers des possibilités associé à la somme des expériences aléatoires ayant un nombre fini d’issues possibles et soit P une probabilité sur Ω.

La loi de probabilité de variables aléatoires X sur Ω est appelée P(X) de X(Ω) dans [0 ; 1] qui à tout nombre K de X(Ω) fait correspondre PX(K) = P(X=K) avec :

[pic 2]

Exemple : Une urne comportant six boules numérotées : 2 avec le numéro 0, 3 avec le numéro 1 et 1 avec le numéro 2. On tire deux boules simultanément. X est la somme des numéros marqués des boules tirées. X suit une loi de probabilité. [pic 3]

X(Ω) = {0 ; 1 ; 2 ; 3}

I.1.4. Fonction de répartition

Si on a :

P(X ≤ 0) = P [(X = 0) ou (X = - 1)] = 1/2

P(X ≤ - 1) = P (X = - 1) = 1/3

P(X ≤ 2) = P (X = 2) + P (X = 0) + P (X = - 1) = 1

Quelque soit x appartenant aux nombres réels, on considère P(X ≤ x). On définie sur l’ensemble des réels la fonction escalier F : x → F(x) = P(X ≤ x). F est alors une fonction de répartition.

- F(x) est la somme des événements (x = Ki) pour lesquels Ki ≤ x

- K1 est la plus petite valeur prise par X1.

Quelque soit x tel que x < K1, on a F(x) = P(X≤ x) = 0

- Kp est la plus grande valeur prise par Xp.

Quelque soit x tel que x ≥ K1, on a F(x) = P(X≤ x) = 1

- F est constante sur chaque intervalle [Ki ;Ki+1[, c’est une fonction escalier (représentation courbe de fréquence cumulés)

- P (a < X ≤ b) = 1 - P (X> b ou X ≤ a) = Fb - Fa

I.1.5. Valeurs caractéristique d’une loi de probabilité

∙ Espérance mathématique

Espérance mathématique d’une valeur aléatoire de loi de probabilité (xK, PK) :

Ex = x1P1 + x2P2 + … + xnPn

[pic 4]

Exemple :

Ex = 2*(1/36) + 3*(2/36) + 4*(3/36) + 5*(4/36) + 6*(5/36) + 7*(6/36) + 8*(5/36) + 9*(4/36) + 10*(3/36) + 11*(2/36) + 12*(1/36) = 256 / 36 = 7

Propriétés :

α appartient à l’ensemble des réels, E(x+α)

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