Les investisseurs institutionnels.

Plan

Introduction

Partie 1 : concepts et notions

 La fonction de répartition

 La fonction de densité

 Le maximum de vraisemblance

Partie 2 : Présentation générale du modèle simple à variable qualitative binaire :

 Les variables latentes

 Problèmes d’utilisation des MCO

 Modèles binaires Probit et Logit

 Estimation des modèles Logit et Probit

Partie 3 : inférence statistique

 Interprétation des paramètres estimés

 Effets marginaux

 Tests d’ajustements globaux

Conclusion

Introduction

Une variable qualitative est une variable dont les valeurs correspondent à des caractères, des qualités, des attributs. Ces variables sont de nature discrète et sont obtenues par observation directe de la caractéristique, de la qualité ou de l’attribut.

Pour des raisons pratiques, on distingue deux types de variables qualitatives :

 variables dichotomiques ou binaires

 variables catégorielles ou catégories multiples

les modèles cités ci-dessus sont largement utilisés et beaucoup répandus. D’autre part ils sont soumis à des applications non linéaires voire la diversité qu’ils présentent par rapport aux modèles linéaires normales.

nous traiterons donc les caractères spéciaux de ces modèles, leurs utilisations et leurs différentes formes, pour procéder par la suite à leurs estimation ainsi que certains tests et donc leurs validités .

Mais avant de partir plus loin au niveau de cet exposé, il est nécessaire qu’on définisse un certain nombre de notion et de concept liés étroitement aux modèles à variable binaire. Notamment la fonction de densité, la fonction de répartition et le maximum de vraisemblance.

Partie ❶ : concepts et notions

A. la fonction de répartition

Soit une variable aléatoire numérique, elle est décrite par la valeur de la probabilité pour qu’une réalisation de cette variable soit inférieure à X.

Cette probabilité est notée F(X) avec F(X) = P(X > x).

F(X) est donc la fonction de répartition de la variable X et c’est la proportion de la population considérée dont la valeur est inférieure à X.

Les 2 évènements (X< x) et (X>x) sont mutuellement exclusifs

Et donc P(X < x) + P (X > x ) =1

Et P (X > x) = 1 – F (X)

Exemple

Le tableau suivant représente la distribution d’un échantillon selon la taille, cette dernière est prise par segments

Modalités

Xi

Fi

Fi

De 150 à 160

3

3/20

De 160 à 170

8

8/20

11/20

De 170 à 180

5

5/20

16/20

De 180 à 190

4

4/20

20/20

Total

20

1

///////////////////

On cumul les fréquences relatives et donc la fonction des fréquences relatives est égale à la fonction de répartition.

Le problème demeure dans le fait que la représentation par escalier ne permet pas de savoir par exemple si les individus appartenant à l’intervalle (160/170) sont concentré au milieu ou sur les bornes de l’intervalle.

Ce problème peut être résolut suite à la répartition uniforme des valeurs sur chaque intervalle, on passe alors de la démarche d’escalier au rond d’escalier

On obtient donc la représentation graphique de la fonction de répartition.

Cette représentation va nous permettre de répondre aux questions suivantes :

 Quelle est la proportion des individus qui mesurent moins de 170 cm ?

Dans ce cas la réponse serait : 11/20

 Quelle est la proportion d’individus qui mesurent moins de 2 mètres ?

Dans ce cas la réponse serait : 100%

B. La fonction de densité

 La densité

Dans la plus part des bases de données on trouve que beaucoup d’individus ressemblent à un individu particulier. Cet individu est donc dans une région de forte densité.

Par contre s’il est pratiquement seul de son espèce, on dit qu’il est dans une région de faible densité.

 La fonction de densité

Soit une variable aléatoire X

Pour toute valeur de X0 la probabilité pour qu’une nouvelle observation tombe entre (x0) et (x0 + dx) est proportionnellement à dx.

Donc : P( x0 <x<x0 + dx ) = f(x0).dx

Où f(x) est la fonction de densité de probabilité.

Cette fonction est toujours positive

Si on donne à x0 la valeur A et la somme (X0 + dx) la valeur B

On obtient

P ( A < x < B ) = dt

C. Le maximum de vraisemblance

Si on part d’un échantillon (N) pour étudier

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