Estimations classiques pour l'angle dans le triangle ABC

Description[modifier | modifier le code]

Notations[modifier | modifier le code]

Triangle ABC avec les notations AB=c, AC=b et BC=a, les angles en A, B et C étant respectivement notés alpha, beta, gamma

Notations usuelles pour un triangle ABC

Un triangle est complètement déterminé par la donnée de ses trois sommets et il se note en général en juxtaposant les trois lettres (a priori capitales) qui les désignent. L'ordre de ces lettres importe peu même si l'ordre d'énonciation correspond en général à un parcours dans le sens trigonométrique autour du triangle1. La longueur d'un côté est classiquement notée avec la lettre minuscule correspondant au sommet opposé.

\alpha = \widehat{A} = \widehat{BAC}

Notations classiques pour un angle

dans un triangle ABC.

Si tous les sommets sont distinctsnote 1, chaque angle géométrique peut être identifié par la lettre du sommet correspondant, surmontée d'un accent circonflexe. Au cas où la figure comprend d'autres segments passant par les sommets, les côtés de l'angle sont précisés par les lettres désignant les deux autres sommets de part et d'autre sous l'accent circonflexe. Ces angles peuvent aussi être notés à l'aide de lettres grecques en minuscule.

Premières propriétés[modifier | modifier le code]

Inégalité triangulaire[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Inégalité triangulaire.

Le postulat euclidien selon lequel « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » s'illustre par le fait que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés :

BC \le BA + AC,\ AB\le AC+CB \quad \mathrm{et} \quad AC\le AB+BC.

Le cas d'égalité caractérise les triangles plats, dans lequel l'un des sommets appartient au segment qui relie les deux autres.

Réciproquement, étant données trois longueurs (données par trois nombres réels positifs) dont aucune n'est supérieure à la somme des deux autres, il est possible de construire un triangle ayant ces longueurs de côté. La vérification de ces inégalités peut être faite en comparant seulement la plus grande des trois longueurs avec la somme des deux autres, car les deux autres inégalités sont nécessairement vraies.

Il suffit alors de construire d'abord un segment d'une des trois longueurs souhaitées, puis de tracer deux cercles centrés sur les extrémités de ce segment avec pour rayon chacune des deux autres longueurs. Les deux cercles ont alors deux points d'intersection et n'importe lequel de ces deux points définit le triangle de dimensions voulues avec le segment initial.

Somme des angles[modifier | modifier le code]

La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.

Article détaillé : Somme des angles d'un triangle.

La somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat, autrement dit la somme de leurs mesures vaut 180° (degrés) c'est-à-dire π radians. Cette propriété est une caractéristique de la géométrie euclidienne. Il existe d'autre géométries, dites géométries non euclidiennes, dans lesquelles la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180° (on parle alors de géométrie elliptique) ou au contraire inférieure (la géométrie est alors dite géométrie hyperbolique).

Réciproquement, étant données trois mesures (non nulles) d'angles géométriques dont la somme vaut un angle plat, il existe un triangle ayant ces mesures d'angles. Il suffit de tracer un segment d'une longueur quelconque et de tracer une demi-droite en chaque extrémité mais du même côté du segment, de façon à former deux des angles voulus avec le segment initial. Les deux demi-droites auront un point d'intersection en lequel l'angle intérieur sera le troisième angle voulu.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Un triangle dans lequel au moins deux sommets sont confondus est dit dégénéré

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