Suite numérique
Cours : Suite numérique. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar Julien Fernandez • 13 Mai 2020 • Cours • 1 048 Mots (5 Pages) • 464 Vues
Suites numériques :
- Suite arithmétique :
Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme s’obtient en ajoutant un nombre réel constant (r ) appelée la raison.
- U0 ou U1
`(Un+1) = Un + r
Exemple : 1, 2, 3, 4 … est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
- Calcul de Un en fonction de U0 ou U1, n et r.
U1 U2 = U1 + r U3 = U2 + r = U1 + 2r U4 = U3 + r = U1 + 3r Un = U1 + (n – 1) r | U0 U1 = U0 + r U2 = U1 + r = U0 + 2r Un = U0 + n r |
Plus généralement lorsque l’on démarre p nième terme :
- Up
- Un = Up + (n – p) r
- Calcul de somme de terme consécutif d’une suite arithmétique
Exemple : Calcul de la somme des 500 premier nombre entier
S = 1+2++3+4+5+…+500
S=500+499+498+…+1
2S = 501+501+501+501+…+501
2S = 500 * 501
S = (500 * 501) /2 = 125250.
S = nb de terme * (1ER terme + dernier terme) / 2[pic 1]
Exemple : calcul somme des termes S
S = U7 + U8 + … U19
S = 13 * (U7 + U19) / 2
- Variation d’une suite arithmétique :
Théorème :
Soit Un une suite arithmétique de raison r.
Si r > 0 alors (Un) est croissante.
Si r < 0 alors (Un) est décroissante.
Remarque :
Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on doit démontrer que pour tout n :
(Un+1) -Un = constante
Exemple :
Soit Un = 3 n + 2 pour tout n appartient à Ν.
Démontrer que Un est une suite arithmétique.
Pour tout n appartient à N,
(Un+1) = 3 (n+1) + 2
(Un+1) – Un = 3 (n+1) + 2 – (3n + 2)
= 3n + 3 + 2 – 3n -2
= 3
Donc Un est une suite arithmétique de raison r = 3.
- Suite géométrique :
Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le précèdent par une constante q appelée la raison. Pour tout entier naturel n on a :
U1 ou U0
Un+1 = q Un
- Calcul de Un en fonction de U1 ou U0, n et q .
U0 U1 = q U0 U2 = q U1 = q^2 U0 U3 = q U2 = q^3 U0 Un = q^n UO | U1 U2 = q U1 U3 = q U2 = q^2 U1 Un = q^(n-1) *U1 |
- Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique.
S = U1 + U2 + U3 … + Un
S = U1 *((1-q^n)/(1-q))
S = le 1er terme * ((1-q^nb de terme)/(1-q))
- Variation d’une suite géométrique
Si q < 0 alors la suite (Un) n’est ni croissante ni décroissante, la suite est alternée.
Si 0 < q < 1 alors la suite (Un) est décroissante.
Si q = 1 alors la suite (Un) est constante.
Si q > 1 alors la suite (Un) est croissante.
3) mathématique financière
- Placement avec des intérêt composés
Un capital C0 placé au taux annuel de x pourcent avec intérêts composés.
On pose t = x/100
CO
C1 = C0 (1+t)
C2= C1 (1+t) = C0 (1+t) 2
Cn = Cn -1 (1+T)= C0 (1+T)N
CN = C0 (1+t)n
Les capitaux disponible successif C0,C1, C2 … Cn
Exemple : on place un capital C0 à 1000€ à 2,5% an avec des intérêts composé
Calculez C10 le capital disponible en valeur acquise au bout de 10 ans.
- Valeur acquise et valeur actuelle placé avec des intérêts composés
En gestion Cn est appelée valeur acquise par le capital C0 placée pendant n année au taux de x pourcent. En posant i = x/100, on a Cn = C0 (1+t) n. ainsi le capital qui est placé au taux annuel de x pourcent pendant n années permet de disposer du capital Cn a la fin des n années.
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