Cours de maths

Chapitre 13

 1 Équation différentielle y’ = f

Dans toute cette partie, f est une fonction définie et continue sur un intervalle I

. 1.1 Primitives d’une fonction continue sur un intervalle

 Définition 1

— Une équation différentielle est une équation où l’inconnue est une fonction et où interviennent des dérivées de cette fonction.

— Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les fonctions solutions de l’équation.

Définition 2

Soit F une fonction définie sur I. on dit que F est un primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F 0 = f . Donc F est solution de l’équation différentielle y 0 = f , dont l’inconnue est la fonction y

. Exemple 1. Les fonctions x→ x^3 et x^7→ x^3 +6 sont solutions sur R de l’équation différentielle y0 = 3x^2 d’inconnue y.

Ces deux fonctions sont donc des primitives sur R de la fonction x^7→ 3x^2 .

 Exercice 1. Soit G et g les fonctions définies sur R par G(x) = (2x +1)e x et g (x) = (2x +3)e x . Calculer G’ (x) pour tout réel x. Que représente alors la fonction G pour la fonction g ?

Exercice 2. Soit G et g les fonctions définies sur R par G(x) = x ln(x)− x et g (x) = ln x.

Montrer que G est une primitive de g.

Propriété 1 : Admis Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Remarque 1. Certaines fonctions comme la fonction f : x 7−→ e −x 2 , sont continues sur R, donc admettent des primitives sur R, mais n’ont pas de primitive « explicite »à l’aide des fonctions usuelles.

Propriété 2 Deux primitives F et G d’une même fonction f continue sur un intervalle I diffèrent d’une constante.

Démonstration. On définit sur I la fonction d par d(x) = F(x)−G(x).

Par hypothèse, F et G sont dérivables sur I et on a F’ = f et G’ = f .

Par conséquent, d = F −G est aussi dérivable sur I et g’= F’ −G’’ = 0.

On en déduit que g est constante sur I.

 Il existe donc un réel C tel que, pour tout x ∈ I, g (x) = C soit F(x)−G(x) = C donc F(x) = G(x)+C, d’où le résultat.

■ Propriété 3 Soient x0 ∈ I et y0 ∈ R quelconque. L’équation différentielle (E) : y 0 = f admet une unique solution F sur I telle que F(x0) = y0.

Démonstration. f est continue et admet donc une primitive G sur I : G est solution de (E).

Les fonctions x→G(x)+C, avec C ∈ R, sont aussi des primitives de f sur I et donc des solutions de (E).

La condition F(x0) = y0 équivaut à G(x0)+k = y0 ⇐⇒C = y0 −G(x0).

 Ainsi C est unique et fixée par la condition initiale.D’où l’unicité de la solution F de (E) définie sur I par F(x) = G(x)+ y0 −(G(x0).

■ Méthode 1 : Résolution d’une équation différentielle

Déterminer la solution F de l’équation différentielle (E) : y’ = e^2x vérifiant F(0) = −1.

1. On cherche une primitive G de g : x 7→ e 2x :

Soit G(x) = 1 2 e 2x . G est dérivable sur R et, pour tout x ∈ R, G 0 (x) = e 2x . Ainsi, G est                       une solution de (E).

2. On utilise la Propriété 2 en posant F(x) = G(x)+C :

La solution cherchée est donc de la forme F(x) = 1 2 e 2x +C avec C ∈ R.

3. On calcule C avec la condition initiale :

 Comme F(0) = −1, on a 1 2 e^0 +k = −1 ⇐⇒ k = − 3/2 . Ainsi, pour tout x ∈ R, F(x) = 1/2 e 2x − 3/2 .

1.2 Primitives des fonctions de référence

A l’aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives : Fonction f                    Primitive F                                           f définie sur

x→ x¨n (n ∈) ;       n =/ −1 =x→ 1/(n +1) x n+1 +C           R si n ∈ N; R ∗ si n < 0

x→ 1/sqrt(x)          x→ 2 p x +C                                                      R +∗                                                      

x → e^x                 x 7→ e^x +C                                                      R                                                                        

x→ 1/x                   x→ ln(x)                                                        ]0;+∞[                                                  

x→ cos x                x→ sin(x)+C                                                      R                                                                                                    

x 7→ sinx               x→cos(x)+C                                                       R

 Propriété 4

Si F est une primitive de f et G est une primitive de g sur [a;b] alors :

 F +G est une primitive de f + g ,

 λF est une primitive de λf avec λ ∈ R.

Méthode 2 : Résolution avec une primitive

Résoudre l’équation (E) : y 0 = x 2 +e x d’inconnue y définie sur R.

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