La musique : une science mathématique ?

La musique : une science mathématique ?

La musique est souvent considérée comme un art qui permet à l’Homme de s’exprimer par l’intermédiaire du son. Mais savez-vous pourquoi on l’apprécie autant ? Depuis de nombreux siècles, elle nous accompagne sous diverses formes ; jouée, interprétée, chantée… Je vous propose aujourd’hui de mettre en lien les mathématiques et la musique. Si j’ai aujourd’hui décidé de vous présenter ce sujet, c’est d’une part grâce à ma passion pour la musique depuis de nombreuses années, mais aussi grâce à mon intérêt pour les mathématiques. J’avais entendu parler de la potentielle connivence entre ces deux disciplines et je voulais donc m’y intéresser. C’est pourquoi nous allons nous demander si la musique peut être considérée comme une science mathématique. Pour se faire, nous étudierons différents aspects de cette discipline en trouvant le lien avec les mathématiques.  

Jouer de la musique, c’est interpréter successivement une série de notes ou accords qui sonnent harmonieusement. Mais reprenons tout d’abord l’observation de Pythagore sur les marteaux. Il a remarqué que deux marteaux frappant sur la même enclume émettaient un son différent. Certaines combinaisons de sons étaient harmonieuses et d’autres moins. Il les a donc examinées et a remarqué que deux marteaux ayant des masses avec un rapport simple de nombres entiers sonnaient ensemble harmonieusement. Mais pourquoi deux sons ensemble sonnent harmonieusement ou pas.

Une note de musique est caractérisée par sa hauteur. D’un point de vue physique, cette hauteur correspond à la fréquence, exprimée en Hertz. Plus la fréquence d’une note est élevée, plus le son est aigu. Une gamme est une suite finie de notes réparties sur une octave.

En acoustique, un intervalle entre deux notes de fréquences respectives f1 et f2 est un nombre réel qui correspond au rapport f1/f2. Depuis l’antiquité, on a remarqué et considéré que deux sons sonnent harmonieusement lorsque leur intervalle vaut 2, soit lorsque la fréquence de l’un est égale à deux fois la fréquence de l’autre. Cet intervalle est appelé octave et il est considéré comme étant le plus consonnant.

Donc pour une note fondamentale la3 de fréquence 440Hz, elle sonne harmonieusement avec la note de fréquence 880Hz, qui correspond au La4, soit la même note mais à la gamme du dessus.

Nous allons maintenant nous intéresser aux gammes de Pythagore. En effet, il a inventé au sixième siècle avant J.-C. l’instrument monocorde composé comme son nom l’indique d’une seule corde afin d’étudier le son produit par la corde vibrante en fonction de sa longueur. Ainsi, en faisant vibrer une corde de longueur x en même temps qu’une corde de longueur ½x, le son produit était harmonieux. Nous pouvons expliquer cela car le rapport de fréquence des deux sons était de deux donc ils étaient à l’octave. De même, il remarque que deux cordes de longueur respective x et 3/2x sonnent harmonieusement. L’intervalle entre ces deux sons est aujourd’hui appelé quinte. C’est pourquoi il fonde sa première gamme, grâce aux mathématiques, sur les quintes et les octaves. Il choisit une note de fréquence f0, qu’il multiplie par 3/2 pour obtenir sa quinte f1. Il remultiplie par 3/2 cette nouvelle note et obtient ainsi une suite de notes harmonieuses entre elles. Ainsi, on peut remarquer la formation d’une gamme, celle de Pythagore, par une suite géométrique (Un) de raison 3/2 et de premier terme U0 = f0. Par exemple, si on prend comme première note le La3 de fréquence 440Hz, on aura U0 = 440. Le premier terme varie en fonction de la gamme souhaitée ; mais les coefficients par lesquels sont multipliées les notes ne changent pas. C’est-à-dire que quel que soit la première note déterminée, elle sera toujours soumise à la même modification, définie grâce aux quintes. On note a1 le coefficient par lequel est multipliée la note de fréquence f1. On a donc a1 = 3/2. C’est ainsi que l’on peut créer une deuxième suite géométrique (An) définie sur l’ensemble des nombres naturels (ℕ) correspondant au facteur par lequel est multipliée la fréquence de la note que l’on cherche. On a An+1 = 3/2 An car chaque nouvelle note correspond à 3/2 fois la fréquence de la note précédente, avec A0=1. Grâce à cela, on a :[pic 1]

• A1 = 3/2[pic 2]
• A2 = 9/4
• A3 = 27/8
• …

Ainsi de suite nous pouvons continuer à l’infini car la raison de cette suite géométrique étant supérieure à 1, sa limite est donc de +∞. On a :  (+ allure représentation graphique).[pic 3]

 Mais pour construire une gamme, il vaut mieux rester dans l’intervalle de l’octave sur laquelle on travaille.

C’est pourquoi on va normaliser cette suite, c’est-à-dire que l’on va diviser par deux les termes dès qu’ils n’appartiendront pas à l’intervalle de l’octave, soit pour la suite (An), dès qu’ils n’appartiendront pas à l’intervalle [1 ; 2]. Pour se faire, on va utiliser un programme Python. On remarque alors que le treizième terme normalisé a une valeur proche de 2. C’est-à-dire que la treizième note obtenue a une fréquence égale à deux fois la fréquence de la note initiale. Pythagore a alors considéré être « revenu au début », donc une gamme de Pythagore est composée de douze notes.

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