Produit scalaire
Fiche de lecture : Produit scalaire. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar marieidoss • 16 Avril 2018 • Fiche de lecture • 1 958 Mots (8 Pages) • 633 Vues
PLAN
- Introduction
- Norme d’un vecteur
- Définitions et premières propriétés
- Produit scalaire de deux vecteurs
- Carré scalaire
- Propriétés du produit scalaire
- Vecteurs orthogonaux
- Règles de calculs
- Relations métriques dans un triangle rectangle
- Théorème d’Al Kashi
- Théorème de la médiane
- Forme analytique du produit scalaire dans une base orthonormée
- Applications
- En physique
- Lignes de niveau
- Conclusion
- Références bibliographiques
1. Introduction
Si les vecteurs peuvent être additionnés entre eux ou multipliés par un réel, il n'a pas encore été défini ce que pouvait être le produit de deux vecteurs. Celui-ci n'est pas un vecteur mais un nombre. De par la nature de son résultat, on le nomme produit scalaire. Le produit scalaire est à l'origine une notion physique : le produit linéaire. Cet outil fut élaboré par le physicien prussien Hermann Grassman (1809-1877) et le physicien américain Josiah Gibbs (1839-1903). Mais c'est le mathématicien irlandais William Hamilton (1805-1865) qui en donna une première définition mathématique en 1853.Qu’est-ce donc un produit scalaire ? Comment utilise-t-on le produit scalaire ?
2. Norme d’un vecteur
La norme correspond ici à la distance de A à B. On note généralement || AB || la norme du vecteur AB. Si [pic 1] = AB, alors || [pic 2] || = AB
3. Définitions et premières propriétés
3.1 Produit scalaire de deux vecteurs
Le produit scalaire est une opération qui se note . ; et qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel.
Le produit scalaire de deux vecteurs [pic 3] et [pic 4] est le nombre réel noté [pic 5] défini par :
- [pic 6]= O si l'un des deux vecteurs est nul ;
- si les des deux vecteurs sont non nuls :
[pic 7] ;[pic 8] ou, si [pic 9] est une mesure de l'angle géométrique associé à [pic 10] et [pic 11], on a aussi : [pic 12]
Le produit scalaire peut être défini de plusieurs manières. Au fur et à mesure, nous établirons ses autres visages. La notation du produit scalaire à l'aide d'un point est due au physicien Josiah Gibbs. Elle apparut dans les années 1880.
Unité du produit scalaire
Le produit scalaire est souvent exprimé sans unité.
3.1 Carré scalaire
Définition
Soit [pic 13] un vecteur :
On appelle carré scalaire de [pic 14] le nombre réel noté [pic 15]
défini par :
[pic 16]
Ainsi, le carré scalaire d'un vecteur est donc égal au carré de sa norme.
Remarques
Pour tous vecteurs [pic 17] et [pic 18]: [pic 19]
Pour tous vecteurs[pic 20], [pic 21] réel on a :
[pic 22] (on dit que le produit scalaire est symétrique)si deux vecteurs non nuls sont colinéaires, alors :
s'ils sont de même sens, [pic 23] ;
s'ils sont de sens contraire, [pic 24].Pour tout vecteur [pic 25], on a : [pic 26]
4. Propriétés du produit scalaire
4.1Vecteurs orthogonaux
Propriétés
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux ⇔ Leur produit scalaire u ⋅ v est nul
4.2 Règles de calculs
Propriétés
Pour tous vecteurs [pic 27], [pic 28], [pic 29]et [pic 30] réel on a :
• [pic 31]
• [pic 32][pic 33]([pic 34] + [pic 35]) = [pic 36][pic 37][pic 38] + [pic 39][pic 40][pic 41] et ([pic 42] + [pic 43])[pic 44][pic 45] = [pic 46][pic 47][pic 48] + [pic 49][pic 50][pic 51] (vu la commutativité)
Conséquences, les identités remarquables avec le produit scalaire :
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
Remarque :
Pour tout couple ([pic 55],[pic 56]), on a :
[pic 57][pic 58][pic 59]= ½ (|| [pic 60] + [pic 61] ||2 - || [pic 62] ||2 - || [pic 63] ||2) et [pic 64][pic 65][pic 66] = ½ (|| [pic 67] ||2 + || [pic 68] ||2 - || [pic 69] - [pic 70] ||2)
Preuve : dans le premier cas, par exemple :
|| [pic 71] + [pic 72] ||2 = ([pic 73] + [pic 74])[pic 75]([pic 76] + [pic 77]) = ([pic 78] + [pic 79])[pic 80][pic 81] + ([pic 82] + [pic 83])[pic 84][pic 85]
= || [pic 86] ||2 + || [pic 87] ||2 + 2[pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]. D'où le résultat.
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