Les suites, étude globale.
Cours : Les suites, étude globale.. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar atma24 • 7 Novembre 2016 • Cours • 700 Mots (3 Pages) • 518 Vues
Les suites
I
Etude globale d'une suite
A
Définition
Suite numérique
Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ.
La fonction définie pour tout entier naturel n par u(n)=2n+1 est une suite.
- Pour désigner la suite u, on peut écrire (un).
- L'écriture un désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u(n).
Modes de génération d'une suite
Il existe trois façons de définir une suite.
1. Définition explicite
La suite (un) est définie directement par son terme général :
un=f(n)
2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur ℝ et un réel f, une suite (un) peut être définie par récurrence grâce à son premier terme et une relation de récurrence valable pour tout entier n :
u0=aun+1=f(un)
3. Définition implicite
La suite (un) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un problème.
B
Le sens de variation
Suite croissante
La suite (un) est croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :
un+1≥un
Considérons la suite (un) définie pour tout entier naturel n, par récurrence, par u0=12 et, pour tout entier naturel n :
un+1=(un)2+un
On en déduit que, pour tout entier naturel n :
un+1−un=(un)2.
Or (un)2≥0. Donc, pour tout entier naturel n :
un+1−un≥0
Ainsi, pour tout entier naturel n :
un+1⩾un
Donc la suite (un) est croissante.
Suite strictement croissante
La suite (un) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :
un+1>un
Suite décroissante
La suite (un) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :
un+1≤un
Considérons la suite définie par :
∀n∈ℕ,un=1n
On a, pour tout entier naturel n :
un+1−un=1n+1−1n=n−(n+1)n(n+1)=−1n(n+1).
Pour tout entier naturel n, le rapport −1n(n+1) est négatif, donc : un+1−un≤0
Ainsi, pour tout entier naturel n :
un+1≤un
Par conséquent la suite (un) est décroissante.
Suite strictement décroissante
La suite (un) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :
un+1<un
Suite constante
La suite (un) est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel un est défini :
un+1=un
Suite monotone
La suite (un) est monotone si, et seulement si, elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens).
II
Les suites particulières
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