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Algèbre et analyse

Fiche : Algèbre et analyse. Recherche parmi 297 000+ dissertations

Par   •  14 Février 2021  •  Fiche  •  4 167 Mots (17 Pages)  •  342 Vues

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[pic 1]

[pic 2]

Definition intuitive :

Une application f est donnée de trois infos :

  • Un ensemble dit « départ » ou "source" E

  • Un ensemble dit « d’arrivée » ou «but»
  • Tout élément x de E un et seul élément de F ( noté f(x))

Definition fonction :

Soit E et F deux ensembles, et D une partie de E.

Une application de D dans F est appelée une fonction de E dans F .

D est appelé le domaine de def de la fonction, noté Df

[pic 3]

Graphe :

Soit une application f : E → F

On appelle graphe de f la partie de E x F des couples de la forme (x,f(x)).

Autrement dit, c’est l’ensemble {(x,y) E x F / f(x) = y }


Notation

E → F

••

Go

x  f(x)••

••

ooo

Exemple

La fct √x. Définie sur R+ La fut logarithme népérien xln(x).Définie sur R⋆₊

Y

v(Xo,yo).

y0 = f(x0)

Xo


Chapitre 5 - APPLICATION -

[pic 4]

Application réciproque  :

Soit f : E →F une application.

On dit qu’une application g : F → E est réciproque de f si fog = Idf et golf = Ide

Remarque : ça n’existe pas toujours :

EO

*

[pic 5]

F

Unicité de la réciproque  :

Soit f : E →F. Si g : F  E et g : F  E sont des réciproque de f , alors g = g Preuve : ( cahier )

Notation


 

[pic 6]

- EXEMPLE -

f : R→R

X→X²        NI SURJECTIVE, NI INJECTIVE

  • Deux antécédent donc pas injective

  • Pas antécédent donc par surjective

g : R+→R

X→X²        INJECTIVE , NON SURJECTIVE

- Enleve car R-

- Un seul élément donc injective

Restriction :

On appelle restriction d’une application f : E → F à A  E

l’application :        f A : A → F

x → F(x)

Prolongement :

Soient f : A→B une application, et soit g : E→F telle que AC et BF. On dit que g est un prolongement de f si l’application h : A→B est égale à f .

x→gA(x)


  •  "

i

d        D        O        b


Lorsqu’une application f admet une réciproque, on la note f¹

Injective :

Soit f : E →F une application.

On dit que f est injective si :

(x,x’)E² , f(x) = f(x’)x=x’  Pas la même image

- Deux élément qui ont la


  • : R-→R+

X→X²        BIJECTIVE

- Enleve car R+

- Bijective

Exemple THÉORÈME :

Image :

Si f : E →F une application, alors :

  • Pour xE, on appelle image de x par f l’élément y=f(x)F

  • On appelle image d’une partie AE, le sous ensemble de f formé de toutes les images d’éléments de A par f.

f(A) = {yF/ƎxA, y=f(x)} = {f(x)/xA}

  • L’image de l’application f est f(E)

ni

E ǧ        § f1Et

"

fin

A        f

  • V

[pic 7]


même image sont égaux.

- Deux élément distincts

ont des images distinctes

[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Surjective :

On dit que f est surjective si :

yF , ƎxE , f(x)= y


Soient f : E  F et g : F  G des applications bijectives.

Alors g◦f est bijective de réciproque (g◦f) ⁻¹=f ⁻¹ ◦ g ⁻¹ .

...

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