Grand oral de mathématiques sur le classement elo

Grand oral

Les échecs sont un jeu de stratégie mondialement connu, qui consiste à mettre le roi adverse en échec et mat, c’est à dire qu’il ne puisse pas échapper à la capture. Les échecs sont apparues au Xème en Europe et deviennent populaires vers la fin du moyenne âge pour la noblesse européenne. Si les échecs sont d’abord vu comme un jeu et un symbole d’éducation aristocratique ils se sont développé jusqu’à être considéré comme un véritable sport. Les premières compétitions d’échecs ont eu lieu au XIXème siècles et comme dans chaque sport on cherche à comparer les performances des joueurs: qui calcule le plus vite, qui voit le plus loin…Cependant là où d’autres sports tel que la course nécessitent un chronomètre pour évaluer les sportifs, les échecs sont beaucoup plus complexes il est donc plus difficile de les évaluer. Nous allons donc voir comment les mathématiques permettent-elles de classer les joueurs d’échecs.

Le système Elo permet de classer différents joueurs, il a été inventé par Arpad Elo (1902-1992), professeur de physique et joueur d’échec hongrois. Ce système permet de déterminer les chances de victoire d’un joueur par rapport à l’autre en comparant leur nombre de points ainsi que de les classer en fonction des résultats de leur match. Intéressons-nous d’abord à l’élaboration de ce système pour pouvoir ensuite essayer de prévoir les résultats d’un match entre Magnus Carlsen, champion du monde de 2013 à 2023, joueur avec le plus de points Elo avec 2853 points et Ding Liren, vainqueur du championnat du monde 2023 avec 2789 points.

Lorsqu’un jeu oppose les joueurs A et B, nous pouvons connaître plusieurs choses telle que la probabilité qu’un joueur gagne contre un autre. Cette probabilité permet également de calculer le rapport de force noté X, qui se traduit par « combien de fois A est plus fort que B ». Ce dernier se calcule par X(A,B) = P(A)/P(B) , P(A) et P(B) étant les probabilités respectives d’un joueur de gagner face à l’autre. Par exemple, si A gagne 75% du temps, X vaut 0.75/0.25 soit 3. A est donc 3 fois plus fort que B. On peut à l’inverse calculer les chances de gagner face à un adversaire en connaissant le rapport de force X :

On pourrait en faire un système de classement en respectant ces relations, mais ce dernier a plusieurs problèmes à cause de la proportionnalité : (définir pour les questions)

Premièrement, les joueurs les plus forts de tous auraient un nombre de points gigantesque, si grand qu’on ne se rendrait pas compte de ce que cela représente, il s’agit du même problème qu’avec l’intensité sonore, d’où l’utilisation du niveau d’intensité sonore en décibels. A l’inverse, les joueurs les plus faibles auraient un nombre de point qui tend vers 0 La compréhension d’un tel classement serait trop compliquée et non évidente. Pour y remédier : on applique une fonction que l’on nomme f afin de déterminer la différence de nombre de points entre deux joueurs pour rendre le système plus parlant, cette fonction doit respecter les liens entre les joueurs ainsi que la relation suivante : D(A ;B) = f(P(A/B))

Enfin, on veut que cette formule soit une fonction qui dépend de la probabilité de victoire, elle doit donc

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