En quoi le problème de Monty Hall témoigne-t-il de l’importance du conditionnement ?

Grand Oral - sujet de Mathématiques – BELLON Thomas TG02

En quoi le problème de Monty Hall témoigne-t-il de l’importance du conditionnement ?

        De manière générale, lorsque nous sommes confrontés à une prise de décision, dans la plupart des cas nous n’avons qu’une connaissance partielle des informations relatives à la situation.

Partant de ce principe, on comprend alors qu’en statistiques la probabilité d’un événement n’est pas objective mais dépend de la personne qui l’estime en fonction de son point de vue sur la situation et évolue en fonction des informations, c’est ce que l’on appelle le conditionnement. Pour illustrer cela, je vais introduire le problème de Monty Hall. Il s’agit d’un jeu de hasard tiré de l’émission télévisée américaine « Let’s make a big deal » dont Monty Hall était le présentateur.

Voici en quoi consiste le jeu :

- Le candidat se trouve devant trois portes identiques, derrière l’une d’elle se trouve une voiture et derrière les deux autres se trouve une chèvre. Le candidat remporte alors la voiture si il parvient à trouver la porte derrière laquelle elle se trouve.

- Le candidat choisit d’abord une des trois portes sans pour l’instant l’ouvrir.

- Par la suite, le présentateur, qui connaît l’emplacement de la voiture, ouvre une des deux autres portes en dévoilant une chèvre.

- Le candidat se voit alors offrir la possibilité de réviser son choix. Ce dernier peut choisir de rester sur la porte sélectionnée initialement ou bien il peut décider de changer de porte pour celle encore fermée.

- Tout l’enjeu de ce problème est de savoir si le candidat a plus intérêt à changer de porte ou alors à rester sur son choix initial.

        On voit alors au premier abord que la réponse n’est pas intuitive. On voit ainsi se distinguer deux types de raisonnement:

- Le premier se base sur le fait qu’après l’ouverture de la porte par le présentateur, il reste deux portes dont l’une cache la voiture. La voiture a donc autant de chance de se trouver derrière l’une ou l’autre porte. On a donc autant de chance de gagner en changeant de porte qu’en ne changeant pas.

- Le second raisonnement s’appuie sur le fait qu’en ne changeant pas de porte le joueur gagne si et seulement si la porte qu’il avait choisie initialement cachait la voiture. Or au départ il a une chance sur trois de choisir cette porte. Ainsi en ne changeant pas de porte la probabilité de gagner est de 1/3 et donc de 2/3 en changeant.

        Pour déterminer lequel de ces raisonnements est exact, je vais m’appuyer sur une démonstration utilisant les probabilités conditionnelles.

        Soient alors les évènements Vi : « la voiture est derrière la porte n°i » et  Oi : « le présentateur ouvre la porte n°i »

On suppose alors que le candidat choisit initialement la porte n°1, le raisonnement serait alors le même dans les autres cas.

Supposons alors que l’animateur ouvre par la suite la porte n°3, de la même manière, le raisonnement est identique si il ouvre la porte n°2.

Tout d’abord, lorsque le candidat doit choisir une des trois portes il est face à un choix équiprobable puisqu’il n’a aucun indice sur la position de la voiture. On a ainsi la relation 1 : P(V1) = P(V2) = P(V3) = 1/3.

On cherche alors à calculer la probabilité que la voiture se trouve derrière la porte n°3 sachant que le présentateur a ouvert la porte n°1 soit P(V3|O1)

Pour ce faire, on se place dans la peau du présentateur qui lui dispose d’un point de vue omniscient. La démonstration consiste alors à inverser la causalité. Par la formule des probabilités conditionnelles on obtient alors : P(V3|O1) x P(O1) = P(O1∩V3) ou encore P(V3|O1) = (P(O1|V3) x P( V3))/P(O1) soit la relation 2.

Or V1, V2 et V3 formant un système complet d’évènements on obtient avec la formule des probabilités totales la relation 3 :

P(O1) = P(O1|V1) x P( V1) + P(O1|V2) x P( V2) + P(O1|V3) x P( V3).

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