Suites et récurrence

Chapitre 1 : Suites et récurrence :

• Arithmétique : Un= U0* × nr,  Un+1= Un+ r , Un= Ui+(n-i)r , S = nb termes ×[pic 1]
• Géométrique : Un= U0 × Un+1= Un × q , Un= Ui × , S =1er terme × [pic 2][pic 3][pic 4]
•  Sens de variation : Un+1-Un (étudie le signe)

                                         comparer   à 1 ( si Un >0)[pic 5]

                                         Un= f(n) (variation de la fct)

                                         récurrence (Un <= Un+1)

• Suites minorées, majorées, bornées 
• Récurrence :

Soit la proposition Pn «  »

Initialisation : pour n=0, on a …. Ainsi Po est vraie

Hérédité : Supposons Pk vraie pour un certain naturel k, et montrons que Pk+1 est vraie. Par HR : ….. ∀ n ∈ ℕ

Ainsi Pk+1 est  vraie et donc la proposition est héréditaire

Conclusion : La proposition est vraie pour n=0, et elle est héréditaire donc d’après le principe de récurrence la proposition est vraie pour naturel n.

Chapitre 2 : rappels dérivation, composition, convexité :

• f′(a)= lim h→0  [pic 6]
• y= f′(a) (x−a)+ f(a)
• formules dérivation :

• sens de variation et signe dérivée : f croissante si f’ ≥ 0

                                                                 f décroissante si f’ ≤ 0

                                                                 f constante si f’= 0

• Convexité :

Chapitre 3 : géométrie dans l'espace (sans repère) :

• Vecteurs dans l’espace : direction : celle de la droite (AB)

                                              sens : A vers B

                                              norme : la longueur AB

• Vecteurs colinéaires :  v=k×u , si ils ont la même direction[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Les droites sont parallèles si AB et CD sont colinéaires ou leurs vecteurs directeurs sont //

Les points A,B,C sont alignés ‘’                    ‘’[pic 16][pic 17][pic 18]

• Vecteurs non colinéaires : définissent la direction d’un plan tel que AM= xAB +yAC
• Vecteurs coplanaires : càd dans un même plan, ssi il existe une combinaison linéaire tel que

 w= xu+yv[pic 19][pic 20][pic 21]

voir feuille schéma

Chapitre 4 : limites de fonctions :

• Asymptote : y=L est une asymptote horizontal à Cf en +∞ (nb fini)

                       x=a est une asymptote verticale à Cf ( un ∞)

• Formes indéterminées : « ∞-∞ », «  », « 0x∞ », «  »[pic 22][pic 23]

Pour lever l’indétermination, on transforme l’écriture de la fonction[pic 24]

• Rem : = ∞ ,  = 0[pic 25][pic 26]
• Théorème majoration(-∞), minoration(+∞), encadrement(L)
• Croissance comparée : lim  =+∞, lim x =0 [pic 30][pic 31][pic 27][pic 28][pic 29]

Chapitre 5 : les probabilités (rappels proba conditionnelle et loi binomiale) :

• Rappels de probabilités :

A, B partitionnent l’univers, donc on peut utiliser la formule des probabilités totales :

PA(B)=   ,  P(A∩B)= P(A) × PA(B)  ,   indépendants : P(A∩B)= P(A) ×P(B) ou PA(B)=P(B)[pic 32]

Loi des probabilités :

Espérance : E(X)= p1× x1 +…+ pn × xn[pic 33]

Variance : V(X)= pi (xi-[pic 34]

Ecart type : σ(X)=[pic 35]

• Loi de Bernoulli :

[pic 36]

Pour un … : on a une épreuve de Bernoulli car il n’y a que 2 issues possibles : S= ’’...  ‘’ et S= ‘’...‘’ et le paramètre est p=…

Pour nb … : on répète nb fois de manière identiques et indépendantes l’épreuve précédente on a donc un schéma de Bernoulli de paramètre n=nb et p=…

Soit X la variable aléatoire correspondant au nb de succès dans ce schéma de Bernoulli, X suit la loi binomiale de paramètre n=nb et p=…

P(X=k)= ( ) × ×
L’espérance : E(X)= n × p[pic 37][pic 38][pic 39]

La variance : V(X)= n × p × q= n × p ×  (1-p)

L’écart type : [pic 40]

Chapitre 6 : la continuité :

• f est continue si lim f(x)= lim f(x)= f(a)

                                                                     x<a                   x>a

• si une fonction est dérivable en a alors elle est continue en a (sauf fct valeur absolue et fct racine carré)
• Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur un intervalle I, et a et b deux réels appartenant à I alors pour tt k compris entre f(a) et f(b), l’eq f(x)=k admet au moins une solution dans [a ; b]
• Corollaire du TVI : si f est continue et monotone sur I, alors pour tt réel k€[f(a) et f(b)] l’éq f(x)=k, à une unique solution dans l’intervalle [a ; b]

Chapitre 7 : la fonction ln :

• ln (1)=0   ;        ln(e)=1

• ln (a×b)= ln(a)+ln(b) ; ln= -ln(a) ;   ln = ln(a) – ln(b) ;  ln =  ;  ln[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

• lim ln(x)= -∞   ;  ln(x)= +∞

   x—>0                                  x—> +∞

...